Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Deux arbres parallèles sont distants de 40,5 mm. Ils doivent être reliés par un engrenage à denture droite de module 1,5 mm avec un rapport de réduction de 2 : 1. Combien de dents N₂ la roue doit-elle avoir ?

a = 40,5 mmm = 1,5 mmi = 2

N₂ =

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train épicycloïdal, le planétaire a 30 dents et chaque satellite a 12 dents. La couronne est maintenue fixe et le planétaire est entraîné à 3000 tr/min. Trouvez la vitesse de rotation n_c du porte-satellites.

N_s = 30N_p = 12n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium transmet 30 kW à 300 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 0,5° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 150 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = −30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 150 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 60 mm supporte un effort de traction axial de 170 kN ainsi qu’un couple de 1000 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

d = 60 mmF = 170 kNT = 1000 N·m

τ_max = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 70 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 100 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 50 kg est portée par un ressort de raideur 200 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 510 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

m = 50 kgk = 200 kN/mc = 510 N·s/m

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 25 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 50 kN/m et k₂ = 30 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente k_eq du système de ressorts, en kN/m.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: N₂ = 36

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Nombre total de dents

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·40,5/1,5 = 54

Répartir selon le rapport

N₁ = 54/(1 + 2) = 18

N₂ = 2·18 = 36

Réponse

N₂ = 36

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_c = 1071 rpm

Trains épicycloïdaux : les vitesses du planétaire, de la couronne et du porte-satellites sont liées par la formule de Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s : vu du porte-satellites, le train est un train ordinaire dont les satellites sont des roues intermédiaires. Bloquer un élément transforme le train en réducteur à rapport unique.

Dents de la couronne

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·12 = 54

Formule de Willis avec la couronne fixe

Posez n_r = 0 et isolez la vitesse du porte-satellites.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −54/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·30/84 = 1071 rpm

Réponse

n_c = 1071 rpm

Le porte-satellites tourne dans le même sens que le planétaire.

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 19,15 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(39000·38350) = 0,3343 rad

φ = 0,3343·180/π = 19,15°

Réponse

φ = 19,15°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 80,92 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 80,92 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(49,54, 80,92) = 80,92 mm

Réponse

d = 80,92 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −9,72 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 150 − −20) = −19,44°

Angle sur l’élément

θ_p = −9,72°

Réponse

θ_p = −9,72°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 38,21 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = 170000/(π·60²/4) = 170000/2827 = 60,13 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 30,06 MPa

R = √(30,06² + 23,58²) = 38,21 MPa

Réponse

τ_max = 38,21 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,557 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 70·1000/314,2 = 222,8 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 222,8/200000 = 0,001114 = 1114 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001114·500 mm = 0,557 mm

Réponse

δ = 0,557 mm

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 6,306 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 103,9·1500/117000 = 1,333 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497,4·1000/100000 = 4,974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,306 mm

Réponse

δ = 6,306 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 39,69 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·5000 = 10000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/10000² = 39688 N = 39,69 kN

Réponse

P_cr = 39,69 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 8,567 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Réponse

σ_cr = 8,567 MPa

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,08064

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Amortissement critique

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·50) = 6325 N·s/m

Taux d’amortissement

ζ = c/c_c = 510/6325 = 0,08064

Réponse

ζ = 0,08064

ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.

12.Vibrations mécaniques

Réponse: k_eq = 80 kN/m

Raideur équivalente

Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 30 = 80 kN/m

Réponse

k_eq = 80 kN/m

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