Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 3 kW à 1440 tr/min entraîne une vis sans fin à 1 filet(s). La roue a 48 dents et la transmission a un rendement de 50 %. Trouvez le couple de sortie T_w sur l’arbre de la roue.

z = 1N_w = 48n = 1440 rpmP = 3 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (32 dents) sur l’arbre d’entrée tourne à 960 tr/min et entraîne la roue B (40 dents). La roue C (36 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D sur l’arbre de sortie. La sortie doit tourner à 345,6 tr/min. Combien de dents N_D la roue D doit-elle avoir ?

n_in = 960 rpmA = 32B = 40C = 36n_out = 345,6 rpm

N_D =

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 30 kW à 750 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 0 MPa et σᵧ = 20 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 65 MPa ?

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 65 MPa

τ_xy = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 20 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en aluminium (diamètre extérieur 100 mm, diamètre intérieur 70 mm, E = 70 GPa). Les deux mesurent 600 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 250 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 250 kNbarre: Ø20 mm, E = 200 GPatube: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en laiton (diamètre 60 mm, longueur 200 mm, E = 100 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 80 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 5 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 5 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 2 kg sur un ressort de raideur 100 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,35. Trouvez la fréquence propre amortie f_d de ses vibrations libres, en Hz.

m = 2 kgk = 100 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 25 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 25 kN/m et celui du bas k₂ = 12 kN/m. Trouvez la raideur équivalente k_eq du système de ressorts, en kN/m.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_w = 477,5 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Vitesse de la roue

n_w = n·z/N_w = 1440·1/48 = 30 rpm

Couple de sortie

ω_w = 2π·30/60 = 3,142 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·3000/3,142 = 477,5 N·m

Réponse

T_w = 477,5 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: N_D = 80

Vitesse de l’arbre intermédiaire

n_B = n_C = 960·32/40 = 768 rpm

Dents de la roue D

N_D = C·n_C/n_out = 36·768/345,6 = 80

Réponse

N_D = 80

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 9,864 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·251327) = 0,1722 rad

φ = 0,1722·180/π = 9,864°

Réponse

φ = 9,864°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 34,92 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·20/218755 = 34,92 MPa

Réponse

τ_max = 34,92 MPa

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 54,08 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon requis

C = (0 + 20)/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 65 − 10 = 55 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 10²) = 54,08 MPa

Réponse

τ_xy = 54,08 MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 55 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 85 + 75·0 + 30·−1 = 55 MPa

Réponse

σ_θ = 55 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,437 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·4006 = 3,432 × 10⁸ N

Raccourcissement

δ = 250000·600/3,432 × 10⁸ = 0,437 mm

Réponse

δ = 0,437 mm

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 24,64 MPa

Rigidités

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 80000·1,414 × 10⁶/1,623 × 10⁶ = 69677 N

Contrainte

σ₂ = 69677/2827 = 24,64 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 24,64 MPa

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 40,94 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/750² = 40941 N = 40,94 kN

Réponse

P_cr = 40,94 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 43,15 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 43,15 mm

Réponse

d = 43,15 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 259,5, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: f_d = 33,34 Hz

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Fréquence propre non amortie

ω_n = √(100000/2) = 223,6 rad/s

f_n = 223,6/(2π) = 35,59 Hz

Fréquence propre amortie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 35,59·√(1 − 0,35²) = 33,34 Hz

Réponse

f_d = 33,34 Hz

12.Vibrations mécaniques

Réponse: k_eq = 8,108 kN/m

Raideur équivalente

Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/12 → k_eq = 25·12/(25 + 12) = 8,108 kN/m

Réponse

k_eq = 8,108 kN/m

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