Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 1,5 kW à 2900 tr/min entraîne une vis sans fin à 1 filet(s). La roue a 48 dents et la transmission a un rendement de 60 %. Trouvez le couple de sortie T_w sur l’arbre de la roue.

z = 1N_w = 48n = 2900 rpmP = 1,5 kWη = 60%

T_w = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Un moteur de 1,1 kW à 2900 tr/min entraîne la roue A (24 dents), qui engrène avec la roue B (25 dents). La roue C (20 dents), sur le même arbre que B, entraîne la roue D (50 dents) sur l’arbre de sortie. Chaque engrènement a un rendement de 98 %. Trouvez le couple de sortie T_out.

P = 1,1 kWn_in = 2900 rpmA = 24B = 25C = 20D = 50η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 400 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,6 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 100 kW à 1500 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 100 mmd_i = 75 mm

τ_max = MPa

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 45° dans le sens horaire. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 30° dans le sens horaire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en aluminium sous l’effort axial.

P = 45 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 30 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 40 mm est suivi, 4 cycles plus tard, d’un pic de 5,3 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 5,3 mmn = 4

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 5 kg est suspendue au ressort k₃ = 30 kN/m. Le haut de k₃ est fixé à une barre rigide suspendue à deux ressorts côte à côte, k₁ = 20 kN/m et k₂ = 40 kN/m ; la barre reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts et de la barre. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_w = 142,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Vitesse de la roue

n_w = n·z/N_w = 2900·1/48 = 60,42 rpm

Couple de sortie

ω_w = 2π·60,42/60 = 6,327 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·1500/6,327 = 142,3 N·m

Réponse

T_w = 142,3 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_out = 9,059 N·m

Vitesse de sortie

n_out = 2900·(24/25)·(20/50) = 1114 rpm

ω_out = 2π·1114/60 = 116,6 rad/s

Puissance et couple de sortie

P_out = 1100·0,98² = 1056 W

T_out = P_out/ω_out = 1056/116,6 = 9,059 N·m

Réponse

T_out = 9,059 N·m

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 36,04 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,8704)) = 36,04 mm

d_i = 0,6·36,04 = 21,62 mm

Réponse

d_o = 36,04 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 34,41 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 4,743 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·50/6,711 × 10⁶ = 4,743 MPa

Réponse

τ_max = 4,743 MPa

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −40 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −50 − (−20)·0 − 10·(−1) = −40 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = −60 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −40 MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 35,98 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −30·−0,866 + 20·0,5 = 35,98 MPa

Réponse

τ_θ = 35,98 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 4,796 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/70000 = 0,003197 = 3197 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,003197·1500 mm = 4,796 mm

Réponse

δ = 4,796 mm

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 265,3 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 23,87 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 265,3 MPa

Réponse

σ_max = 265,3 MPa

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 5,426 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2000 = 4000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5,426 kN

Réponse

P_cr = 5,426 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 7,896 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Réponse

σ_cr = 7,896 MPa

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,08016

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Décrément logarithmique

δ = (1/4)·ln(40/5,3) = 0,5053

Taux d’amortissement

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5053/√(39,48 + 0,2553) = 0,08016

Réponse

ζ = 0,08016

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 10,07 Hz

Raideur équivalente

Seuls k₁ et k₂ sont en parallèle. Cette paire est en série avec k₃ ; combinez-les donc par leurs inverses.

k₁₂ = 20 + 40 = 60 kN/m

k_eq = 60·30/(60 + 30) = 20 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(20000/5) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Réponse

f_n = 10,07 Hz

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