Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Une poulie de 160 mm tournant à 1500 tr/min entraîne une poulie de 500 mm par une courroie avec 2,5 % de glissement. Trouvez la vitesse n₂ de la poulie menée.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 500 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train épicycloïdal, le planétaire a 12 dents et chaque satellite a 15 dents. La couronne est maintenue fixe et le planétaire est entraîné à 900 tr/min. Trouvez la vitesse de rotation n_c du porte-satellites.

N_s = 12N_p = 15n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en aluminium est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 60 mm et une longueur de 1,5 m ; le tronçon BC a un diamètre de 40 mm et une longueur de 0,5 m. Un couple de 750 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 10 kW à 1500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 90 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 115 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 115 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 200 kg est portée par un ressort de raideur 50 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 630 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

m = 200 kgk = 50 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 5 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 20 kN/m et k₂ = 12 kN/m. La masse reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n₂ = 468 rpm

Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = e^μθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.

Vitesse sans glissement

1500·160/500 = 480 rpm

Avec glissement

n₂ = 480·0,975 = 468 rpm

Réponse

n₂ = 468 rpm

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_c = 200 rpm

Trains épicycloïdaux : les vitesses du planétaire, de la couronne et du porte-satellites sont liées par la formule de Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s : vu du porte-satellites, le train est un train ordinaire dont les satellites sont des roues intermédiaires. Bloquer un élément transforme le train en réducteur à rapport unique.

Dents de la couronne

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·15 = 42

Formule de Willis avec la couronne fixe

Posez n_r = 0 et isolez la vitesse du porte-satellites.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −42/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·12/54 = 200 rpm

Réponse

n_c = 200 rpm

Le porte-satellites tourne dans le même sens que le planétaire.

3.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 59,68 MPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Contrainte dans chaque tronçon

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Réponse

τ_max = 59,68 MPa

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 15,94 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Réponse

d = 15,94 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −41,83 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 10/90,55 = 0,1104, sin 2θ_s = −90/90,55 = −0,9939

2θ_s = atan2(−90, 10) = −83,66°

Angle sur l’élément

θ_s = −41,83°

vérification: θ_s − θ_p = −41,83 − 3,17 = −45°

Réponse

θ_s = −41,83°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −12,65 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 5 + −65·0,766 + −50·−0,6428 = −12,65 MPa

Réponse

σ_θ = −12,65 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 954,9 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 60·1000/314,2 = 191 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 191/200000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Réponse

ε = 954,9 µε

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,113 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·1000/200000 = 0,6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·1000/100000 = 4,476 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,113 mm

Réponse

δ = 5,113 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 441 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·1500 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

Réponse

P_cr = 441 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 71,89 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 71,89 mm

Réponse

d = 71,89 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 166,9, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,09961

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Amortissement critique

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·200) = 6325 N·s/m

Taux d’amortissement

ζ = c/c_c = 630/6325 = 0,09961

Réponse

ζ = 0,09961

ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 12,73 Hz

Raideur équivalente

Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 12 = 32 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(32000/5) = 80 rad/s

f_n = 80/(2π) = 12,73 Hz

Réponse

f_n = 12,73 Hz

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