Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 0,55 kW à 2900 tr/min entraîne une vis sans fin à 3 filet(s). La roue a 48 dents et la transmission a un rendement de 55 %. Trouvez le couple de sortie T_w sur l’arbre de la roue.

z = 3N_w = 48n = 2900 rpmP = 0,55 kWη = 55%

T_w = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Un moteur de 7,5 kW à 1440 tr/min entraîne la roue A (24 dents), qui engrène avec la roue B (48 dents). La roue C (45 dents), sur le même arbre que B, entraîne la roue D (80 dents) sur l’arbre de sortie. Chaque engrènement a un rendement de 95 %. Trouvez le couple de sortie T_out.

P = 7,5 kWn_in = 1440 rpmA = 24B = 48C = 45D = 80η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 50 kW à 3000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 50 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 60 MPa, σᵧ = 20 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en aluminium (diamètre 50 mm, longueur 200 mm, E = 70 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,3 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 115 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 12 mm est suivi, 2 cycles plus tard, d’un pic de 9,3 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 9,3 mmn = 2

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 10 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 10 kN/m et k₂ = 60 kN/m. La masse reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_w = 15,94 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Vitesse de la roue

n_w = n·z/N_w = 2900·3/48 = 181,3 rpm

Couple de sortie

ω_w = 2π·181,3/60 = 18,98 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,55·550/18,98 = 15,94 N·m

Réponse

T_w = 15,94 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_out = 159,6 N·m

Vitesse de sortie

n_out = 1440·(24/48)·(45/80) = 405 rpm

ω_out = 2π·405/60 = 42,41 rad/s

Puissance et couple de sortie

P_out = 7500·0,95² = 6769 W

T_out = P_out/ω_out = 6769/42,41 = 159,6 N·m

Réponse

T_out = 159,6 N·m

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 2,241 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·38350) = 0,03911 rad

φ = 0,03911·180/π = 2,241°

Réponse

φ = 2,241°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 25,31 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·50)) = 25,31 mm

Réponse

d = 25,31 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −20,99 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 50/67,27 = 0,7433, sin 2θ_s = −45/67,27 = −0,669

2θ_s = atan2(−45, 50) = −41,99°

Angle sur l’élément

θ_s = −20,99°

vérification: θ_s − θ_p = −20,99 − 24,01 = −45°

Réponse

θ_s = −20,99°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 90 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 40 + 20·0 + 50·1 = 90 MPa

Réponse

σ_θ = 90 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 31,87 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,3/9,413 × 10⁻⁶ = 31871 N = 31,87 kN

Réponse

P = 31,87 kN

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 366,1 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 366,1 MPa

Réponse

σ_max = 366,1 MPa

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 24,22 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·5000 = 5000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24,22 kN

Réponse

P_cr = 24,22 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 22,56 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Réponse

σ_cr = 22,56 MPa

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,02028

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Décrément logarithmique

δ = (1/2)·ln(12/9,3) = 0,1274

Taux d’amortissement

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1274/√(39,48 + 0,01624) = 0,02028

Réponse

ζ = 0,02028

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 13,32 Hz

Raideur équivalente

Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 60 = 70 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(70000/10) = 83,67 rad/s

f_n = 83,67/(2π) = 13,32 Hz

Réponse

f_n = 13,32 Hz

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