Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 3 kW tournant à 1440 rpm entraîne un pignon de 18 dents, qui engrène avec une roue de 25 dents. L’engrenage a un rendement de 97 %. Trouvez le couple T₁ sur l’arbre du moteur.

P = 3 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 18N₂ = 25η = 97%

T₁ = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Un moteur de 1,1 kW à 2900 tr/min entraîne la roue A (24 dents), qui engrène avec la roue B (80 dents). La roue C (18 dents), sur le même arbre que B, entraîne la roue D (60 dents) sur l’arbre de sortie. Chaque engrènement a un rendement de 98 %. Trouvez le couple de sortie T_out.

P = 1,1 kWn_in = 2900 rpmA = 24B = 80C = 18D = 60η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 750 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,7 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 60 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 75 kW à 1450 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa et τₓᵧ = −20 MPa, avec σ_z = 0. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale absolue τ_abs en ce point (en considérant tous les plans dans l’espace).

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 30° dans le sens horaire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 35 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 12 kg est portée par un ressort de raideur 10 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 30 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

m = 12 kgk = 10 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 20 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 60 kN/m et k₂ = 80 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente k_eq du système de ressorts, en kN/m.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T₁ = 19,89 N·m

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Couple moteur

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Réponse

T₁ = 19,89 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_out = 38,65 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Vitesse de sortie

n_out = 2900·(24/80)·(18/60) = 261 rpm

ω_out = 2π·261/60 = 27,33 rad/s

Puissance et couple de sortie

P_out = 1100·0,98² = 1056 W

T_out = P_out/ω_out = 1056/27,33 = 38,65 N·m

Réponse

T_out = 38,65 N·m

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 43,76 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0,7599)) = 43,76 mm

d_i = 0,7·43,76 = 30,63 mm

Réponse

d_o = 43,76 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 39,93 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 36,92 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·493929/(π·50)) = 36,92 mm

Réponse

d = 36,92 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_abs = 25 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Dans l’espace, la contrainte de cisaillement maximale absolue vaut (σ_max − σ_min)/2 sur les trois contraintes principales ; en contraintes planes, la troisième est nulle.

Contraintes principales dans le plan

C = 5 MPa, R = √((−15)² + (−20)²) = 25 MPa

σ₁ = 30 MPa, σ₂ = −20 MPa, σ_z = 0

Le plus grand des trois cercles

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 30, 20)/2 = 25 MPa

Réponse

τ_abs = 25 MPa

Ici, σ₁ et σ₂ sont de signes opposés, donc le maximum dans le plan R est aussi le maximum absolu.

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 37,99 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −15·−0,866 + 50·0,5 = 37,99 MPa

Réponse

τ_θ = 37,99 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 707,4 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/70000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Réponse

ε = 707,4 µε

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 6,003 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,3·1000/100000 = 0,713 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309,5·2000/117000 = 5,29 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,003 mm

Réponse

δ = 6,003 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 3,312 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Réponse

P_cr = 3,312 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 3,084 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Réponse

σ_cr = 3,084 MPa

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,0433

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Amortissement critique

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·12) = 692,8 N·s/m

Taux d’amortissement

ζ = c/c_c = 30/692,8 = 0,0433

Réponse

ζ = 0,0433

ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.

12.Vibrations mécaniques

Réponse: k_eq = 140 kN/m

Raideur équivalente

Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 80 = 140 kN/m

Réponse

k_eq = 140 kN/m

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