Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 0,75 kW tournant à 2900 rpm entraîne un pignon de 16 dents, qui engrène avec une roue de 36 dents. L’engrenage a un rendement de 98 %. Trouvez le couple de sortie T₂ sur l’arbre de la roue.

P = 0,75 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 36η = 98%

T₂ = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (24 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 2900 rpm, entraîne la roue B (40 dents). La roue C (45 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (80 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie n_out.

n_in = 2900 rpmA = 24B = 40C = 45D = 80

n_out = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 100 kW à 1800 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 500 mm et d’épaisseur de paroi 5 mm, contient un gaz à une pression relative de 0,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 40° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σ_n qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 500 mmt = 5 mmp = 0,5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en cuivre (diamètre 50 mm, longueur 300 mm, E = 120 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 60 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 55 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 55 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 40 kg est portée par un ressort de raideur 150 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 2940 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 2940 N·s/m

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 100 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 12 kN/m et celui du bas k₂ = 12 kN/m. Trouvez la raideur équivalente k_eq du système de ressorts, en kN/m.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T₂ = 5,446 N·m

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Couple moteur

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/303,7 = 2,47 N·m

Couple de sortie

T₂ = 2,47·36/16·0,98 = 5,446 N·m

Réponse

T₂ = 5,446 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_out = 978,8 rpm

Premier étage

n_B = 2900·24/40 = 1740 rpm = n_C

Deuxième étage

n_out = 1740·45/80 = 978,8 rpm

Réponse

n_out = 978,8 rpm

rapport total = 2,963 : 1

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 6,412 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·251327) = 0,1119 rad

φ = 0,1119·180/π = 6,412°

Réponse

φ = 6,412°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 32,44 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·25/408885 = 32,44 MPa

Réponse

τ_max = 32,44 MPa

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 61,85 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((30 − 60)/2)² + 60²) = 61,85 MPa

Réponse

τ_max = 61,85 MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_n = 19,84 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 0,5·250/5 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σ_n = 12,5·sin²40° + 25·cos²40° = 19,84 MPa

Réponse

σ_n = 19,84 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 152,8 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/200000 = 0,0001528 = 152,8 µε

Réponse

ε = 152,8 µε

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 18,63 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 60000·785398/1,288 × 10⁶ = 36585 N

Contrainte

σ₂ = 36585/1963 = 18,63 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 18,63 MPa

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 2,429 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·4000 = 8000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/8000² = 2429 N = 2,429 kN

Réponse

P_cr = 2,429 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 70,73 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 70,73 mm

Réponse

d = 70,73 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 237,5, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,6001

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Amortissement critique

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

Taux d’amortissement

ζ = c/c_c = 2940/4899 = 0,6001

Réponse

ζ = 0,6001

ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.

12.Vibrations mécaniques

Réponse: k_eq = 6 kN/m

Raideur équivalente

Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/12 → k_eq = 12·12/(12 + 12) = 6 kN/m

Réponse

k_eq = 6 kN/m

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