Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 5,5 kW tournant à 2900 tr/min entraîne un pignon de 18 dents et de module 2,5 mm. Trouvez l’effort tangentiel F_t sur les dents du pignon.

P = 5,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 18m = 2,5 mm

F_t = N

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (16 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 1450 rpm, entraîne la roue B (80 dents). La roue C (48 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (72 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie n_out.

n_in = 1450 rpmA = 16B = 80C = 48D = 72

n_out = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 25 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 75 kW à 500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Trouvez la contrainte équivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 75 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 120 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 2 m, acier (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 50 mm est suivi, 4 cycles plus tard, d’un pic de 18,3 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 18,3 mmn = 4

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 50 kg est suspendue au ressort k₃ = 60 kN/m. Le haut de k₃ est fixé à une barre rigide suspendue à deux ressorts côte à côte, k₁ = 60 kN/m et k₂ = 12 kN/m ; la barre reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts et de la barre. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: F_t = 804,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Couple sur le pignon

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 5500/303,7 = 18,11 N·m

Diamètre primitif

d = m·N = 2,5·18 = 45 mm

Effort tangentiel

F_t = 2T/d = 2·18,11/0,045 = 804,9 N

Réponse

F_t = 804,9 N

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_out = 193,3 rpm

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Premier étage

n_B = 1450·16/80 = 290 rpm = n_C

Deuxième étage

n_out = 290·48/72 = 193,3 rpm

Réponse

n_out = 193,3 rpm

rapport total = 7,5 : 1

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 17,24 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·38350) = 0,3009 rad

φ = 0,3009·180/π = 17,24°

Réponse

φ = 17,24°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 45,99 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Réponse

d = 45,99 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −58,28 °

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, −10 − 40) = −116,6°

Angle sur l’élément

θ_p = −58,28°

Réponse

θ_p = −58,28°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_vM = 93,81 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 35 MPa, R = 50,25 MPa

σ₁ = 85,25 MPa, σ₂ = −15,25 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(85,25² − 85,25·(−15,25) + (−15,25)²) = 93,81 MPa

Réponse

σ_vM = 93,81 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 3,316 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 663,1/100000 = 0,006631 = 6631 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,006631·500 mm = 3,316 mm

Réponse

δ = 3,316 mm

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 4,864 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 382 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 244,5·500/117000 = 1,045 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·2000/200000 = 3,82 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,864 mm

Réponse

δ = 4,864 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 2,467 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·6000 = 12000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/12000² = 2467 N = 2,467 kN

Réponse

P_cr = 2,467 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 64,45 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Réponse

σ_cr = 64,45 MPa

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,03996

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Décrément logarithmique

δ = (1/4)·ln(50/18,3) = 0,2513

Taux d’amortissement

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2513/√(39,48 + 0,06314) = 0,03996

Réponse

ζ = 0,03996

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 4,072 Hz

Raideur équivalente

Seuls k₁ et k₂ sont en parallèle. Cette paire est en série avec k₃ ; combinez-les donc par leurs inverses.

k₁₂ = 60 + 12 = 72 kN/m

k_eq = 72·60/(72 + 60) = 32,73 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(32727/50) = 25,58 rad/s

f_n = 25,58/(2π) = 4,072 Hz

Réponse

f_n = 4,072 Hz

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