Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 0,75 kW à 1440 tr/min entraîne une vis sans fin à 1 filet(s). La roue a 45 dents et la transmission a un rendement de 50 %. Trouvez le couple de sortie T_w sur l’arbre de la roue.

z = 1N_w = 45n = 1440 rpmP = 0,75 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (15 dents) sur l’arbre d’entrée tourne à 1500 tr/min et entraîne la roue B (50 dents). La roue C (40 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D sur l’arbre de sortie. La sortie doit tourner à 250 tr/min. Combien de dents N_D la roue D doit-elle avoir ?

n_in = 1500 rpmA = 15B = 50C = 40n_out = 250 rpm

N_D =

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton transmet 5 kW à 750 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 75 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 0,5° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 160 MPa, σᵧ = 120 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 70 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 300 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de von Mises (énergie de distorsion).

σ_x = 70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

Une tige en acier (diamètre 40 mm, E = 200 GPa, contrainte admissible 160 MPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en laiton (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 100 GPa, contrainte admissible 60 MPa). Ils sont comprimés ensemble entre des plaques rigides. Trouvez la plus grande charge P_max.

barre: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatube: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 5 kg sur un ressort de raideur 200 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,45. Trouvez la fréquence propre amortie f_d de ses vibrations libres, en Hz.

m = 5 kgk = 200 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 100 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 20 kN/m et k₂ = 100 kN/m. La masse reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_w = 111,9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Vitesse de la roue

n_w = n·z/N_w = 1440·1/45 = 32 rpm

Couple de sortie

ω_w = 2π·32/60 = 3,351 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·750/3,351 = 111,9 N·m

Réponse

T_w = 111,9 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: N_D = 72

Vitesse de l’arbre intermédiaire

n_B = n_C = 1500·15/50 = 450 rpm

Dents de la roue D

N_D = C·n_C/n_out = 40·450/250 = 72

Réponse

N_D = 72

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 18,24 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·15708) = 0,3183 rad

φ = 0,3183·180/π = 18,24°

Réponse

φ = 18,24°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 37,15 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 37,15 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(16,29, 37,15) = 37,15 mm

Réponse

d = 37,15 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −22,5 °

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 20/28,28 = 0,7071, sin 2θ_s = −20/28,28 = −0,7071

2θ_s = atan2(−20, 20) = −45°

Angle sur l’élément

θ_s = −22,5°

vérification: θ_s − θ_p = −22,5 − 22,5 = −45°

Réponse

θ_s = −22,5°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 2,491

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 55 MPa, R = 61,85 MPa

σ₁ = 116,8 MPa, σ₂ = −6,847 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(116,8² − 116,8·(−6,847) + (−6,847)²) = 120,4 MPa

n = 300/120,4 = 2,491

Réponse

n = 2,491

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 1019 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/200000 = 0,001019 = 1019 µε

Réponse

ε = 1019 µε

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P_max = 711,6 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Déformation déterminante

ε = min(0,0008, 0,0006) = 0,0006 (laiton)

Charge maximale

P_max = 0,0006·1,186 × 10⁹ = 711571 N = 711,6 kN

Réponse

P_max = 711,6 kN

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 63,97 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Réponse

P_cr = 63,97 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 77,11 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Réponse

σ_cr = 77,11 MPa

11.Vibrations mécaniques

Réponse: f_d = 28,43 Hz

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Fréquence propre non amortie

ω_n = √(200000/5) = 200 rad/s

f_n = 200/(2π) = 31,83 Hz

Fréquence propre amortie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 31,83·√(1 − 0,45²) = 28,43 Hz

Réponse

f_d = 28,43 Hz

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 5,513 Hz

Raideur équivalente

Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 100 = 120 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(120000/100) = 34,64 rad/s

f_n = 34,64/(2π) = 5,513 Hz

Réponse

f_n = 5,513 Hz

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