Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Deux arbres parallèles sont distants de 360 mm. Ils doivent être reliés par un engrenage à denture droite de module 4 mm avec un rapport de réduction de 5 : 1. Combien de dents N₂ la roue doit-elle avoir ?

a = 360 mmm = 4 mmi = 5

N₂ =

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train épicycloïdal, le planétaire a 15 dents et chaque satellite a 15 dents. Le porte-satellites est maintenu fixe et le planétaire est entraîné à 1800 tr/min. Trouvez la vitesse de rotation n_r de la couronne (valeur absolue).

N_s = 15N_p = 15n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux en aluminium (diamètre extérieur 75 mm, diamètre intérieur 38 mm, longueur 1 m) est encastré à une extrémité et soumis à un couple de 400 N·m à l’autre. Trouvez l’angle de torsion φ en degrés.

T = 400 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium transmet 75 kW à 750 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 50 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 1° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = −30 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 20° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 350 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de von Mises (énergie de distorsion).

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 15 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 100 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 2 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1,5 m, acier (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 65 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 10 kg est portée par un ressort de raideur 10 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 130 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

m = 10 kgk = 10 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 25 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 20 kN/m et celui du bas k₂ = 15 kN/m. Trouvez la raideur équivalente k_eq du système de ressorts, en kN/m.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: N₂ = 150

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Nombre total de dents

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·360/4 = 180

Répartir selon le rapport

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

Réponse

N₂ = 150

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_r = 600 rpm

Trains épicycloïdaux : les vitesses du planétaire, de la couronne et du porte-satellites sont liées par la formule de Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s : vu du porte-satellites, le train est un train ordinaire dont les satellites sont des roues intermédiaires. Bloquer un élément transforme le train en réducteur à rapport unique.

Dents de la couronne

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·15 = 45

Formule de Willis avec le porte-satellites fixe

Avec n_c = 0, le planétaire entraîne la couronne par l’intermédiaire des satellites, qui jouent le rôle de roues intermédiaires.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·15/45 = −600 rpm

|n_r| = 600 rpm

Réponse

n_r = 600 rpm

La couronne tourne en sens inverse du planétaire.

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,3038 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Angle de torsion

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1000/(26000·2,902 × 10⁶) = 0,005302 rad

φ = 0,005302·180/π = 0,3038°

Réponse

φ = 0,3038°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 68,04 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 68,04 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(45,99, 68,04) = 68,04 mm

Réponse

d = 68,04 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −39,55 MPa

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −55 − 5·0,766 − (−30)·0,6428 = −39,55 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = −70,45 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −110 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −39,55 MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 2,059

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 130 MPa, R = 63,25 MPa

σ₁ = 193,2 MPa, σ₂ = 66,75 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(193,2² − 193,2·66,75 + 66,75²) = 170 MPa

n = 350/170 = 2,059

Réponse

n = 2,059

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,238 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/100000 = 0,000746 = 746 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,000746·3000 mm = 2,238 mm

Réponse

δ = 2,238 mm

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 8,669 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 203,7·2000/200000 = 2,037 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 884,2·1500/200000 = 6,631 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,669 mm

Réponse

δ = 8,669 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 56,4 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1050² = 56398 N = 56,4 kN

Réponse

P_cr = 56,4 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 67,8 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 67,8 mm

Réponse

d = 67,8 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 123,9, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,2055

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Amortissement critique

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·10) = 632,5 N·s/m

Taux d’amortissement

ζ = c/c_c = 130/632,5 = 0,2055

Réponse

ζ = 0,2055

ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.

12.Vibrations mécaniques

Réponse: k_eq = 8,571 kN/m

Raideur équivalente

Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/15 → k_eq = 20·15/(20 + 15) = 8,571 kN/m

Réponse

k_eq = 8,571 kN/m

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