Loi de Coulomb et champ électrique
- Loi de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Champ d’une charge ponctuelle
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Force sur une charge
- F = q·E
Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Résistances en série et en parallèle
- Résistances en série
- Req = R1 + R2 + …
- Résistances en parallèle
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Deux en parallèle
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Loi d’Ohm
- V = I·R
- Puissance
- P = V·I = I²R = V²/R
Méthode
- Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
- Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Redessinez le circuit après chaque étape.
- Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.
Transitoires RC et RL
- Constante de temps
- τ = RC | τ = L/R
- Réponse
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensateur en continu
- circuit ouvert ; vC ne peut pas sauter
- Bobine en continu
- court-circuit ; iL ne peut pas sauter
- Régime établi
- t ≈ 5τ
Méthode
- Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
- Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
- Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
- Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Champs magnétiques et induction
- Long fil rectiligne
- B = μ0I/(2πr)
- Centre d’une bobine plate
- B = μ0NI/(2R)
- Long solénoïde
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Force sur un fil
- F = BIL·sin θ
- Force sur une charge
- F = |q|vB·sin θ
- Mouvement circulaire
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fils parallèles
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flux
- Φ = BA·cos θ
- Loi de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Tige en mouvement
- ε = BLv
- Alternateur
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Inductance
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Inductance mutuelle
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Sélecteur de vitesse et spectromètre
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Méthode
- Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
- Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
- Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
- Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.
Impédance et phaseurs en alternatif
- Impédances
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsation
- ω = 2πf
- Module et argument
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Loi d’Ohm en phaseurs
- V = I·Z
Méthode
- Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
- Trouvez chaque réactance : XL = ωL et XC = 1/(ωC).
- Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
- Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.
2Exercices
1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen
Deux petites sphères métalliques identiques portent des charges de −6 µC et −1 µC. On les met en contact, puis on les replace à 20 cm l’une de l’autre. Trouvez l’intensité de la force F qui s’exerce maintenant entre elles. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −6 µCq2 = −1 µCr = 20 cm
F = N
2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile
Des charges de +10 µC et −10 µC sont distantes de 20 cm. Le point P se trouve à 10 cm du milieu du segment qui les relie, sur la médiatrice. Trouvez l’intensité du champ électrique E en P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 20 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Résistances en série et en parallèleMoyen
Trouvez le courant IR2 dans R2.
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.Résistances en série et en parallèleDifficile
Trouvez la résistance équivalente Req vue par la source V1.
V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 30 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 ΩR5 = 12 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.Transitoires RC et RLMoyen
La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez la tension vL aux bornes de la bobine à t = 5 ms.
Vs = 12 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
vL = V
6.Transitoires RC et RLDifficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 3 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à vC pour atteindre 4,4 V ? Trouvez t.
Vs = 5 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 3 V
t = ms
7.Champs magnétiques et inductionMoyen
Un électron se déplace vers le bas de la page dans un champ magnétique uniforme dirigé entrant dans la page. Cliquez sur la direction de la force magnétique qui s’exerce sur lui.
v: vers le bas de la pageB: entrant dans la page
- 1vers le haut de la page
- 2vers la droite
- 3vers le bas de la page
- 4vers la gauche
8.Champs magnétiques et inductionDifficile
Le courant dans une bobine de 200 mH passe régulièrement de 2 A à 2,5 A en 2 ms. Trouvez la valeur de la f.é.m. d’auto-induction ε.
L = 200 mH2 A → 2,5 AΔt = 2 ms
ε = V
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série avec C = 4,7 µF doit résonner à 2000 Hz. Trouvez l’inductance L nécessaire.
f0 = 2000 HzC = 4,7 µF
L = mH
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série a R = 5 Ω, L = 200 mH et C = 10 µF. Trouvez sa bande passante B (la largeur de la bande comprise entre les fréquences de demi-puissance), en Hz.
R = 5 ΩL = 200 mHC = 10 µF
B = Hz
3Solutions
1.Loi de Coulomb et champ électrique
Réponse: F = 2,753 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Charge après contact
q′ = (−6 + −1)/2 = −3,5 µC
Nouvelle force
F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,2² = 2,753 N
Réponse
F = 2,753 N
Les deux sphères portent maintenant des charges de même signe, donc elles se repoussent.
2.Loi de Coulomb et champ électrique
Réponse: E = 6,357 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Distance et champ d’une charge
r = √(10² + 10²) = 14,14 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,1414² = 4,495 × 10⁶ N/C
Composantes
Les composantes le long de la médiatrice s’annulent.
E = 2·E1·(a/r) = 2·4,495 × 10⁶·0,7071 = 6,357 × 10⁶ N/C
Réponse
E = 6,357 × 10⁶ N/C
Le champ est parallèle à la droite reliant les charges, dirigé de la charge positive vers la charge négative.
3.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR2 = 1,612 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 8 + 15 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 6·23/(6+23) = 4,759 Ω
Req = R1 + 4,759 = 10 + 4,759 = 14,76 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 30/14,76 = 2,033 A
Courant dans R₂
Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,033·10 = 9,673 V
IR2 = VA/R2 = 9,673/6 = 1,612 A
Réponse
IR2 = 1,612 A
4.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 8,912 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 12 + 4 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 4,364 Ω
R3 + 4,364 = 7,364 Ω
R2 ∥ 7,364 = 5,912 Ω
Req = R1 + 5,912 = 3 + 5,912 = 8,912 Ω
Réponse
Req = 8,912 Ω
5.Transitoires RC et RL
Réponse: vL = 2,305 V
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps et courant final
Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.
τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms
i(∞) = Vs/R = 12/33 = 0,3636 A
Tension aux bornes de la bobine
À t = 0, toute la tension d’alimentation apparaît aux bornes de la bobine ; elle décroît ensuite jusqu’à zéro.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−5/3,03 = 2,305 V
Réponse
vL = 2,305 V
6.Transitoires RC et RL
Réponse: t = 26,49 ms
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 5 + (3 − 5)·e−t/τ
Isoler le temps
4,4 = 5 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (4,4 − 5)/(3 − 5) = 0,3
t = τ·ln((3 − 5)/(4,4 − 5)) = 22·ln(3,333) = 26,49 ms
Réponse
t = 26,49 ms
7.Champs magnétiques et induction
Réponse: vers la gauche
Forces magnétiques : un fil rectiligne parcouru par I dans un champ B subit F = BIL·sin θ, et une charge en mouvement F = |q|vB·sin θ, où θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et B. La force est perpendiculaire aux deux : pointez les doigts de la main droite le long de I ou v, enroulez-les vers B, et le pouce donne F pour une charge positive ; inversez le sens pour une charge négative. Comme F est perpendiculaire à v, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle : |q|vB = mv²/r donne r = mv/(|q|B) et la période T = 2πm/(|q|B), qui ne dépend pas de la vitesse. Deux fils parallèles s’attirent quand les courants sont de même sens : F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Règle de la main droite
Pointez les doigts le long du courant ou de la vitesse et enroulez-les vers B ; le pouce donne la force sur une charge positive.
v: vers le bas de la page, B: entrant dans la page
Charge négative
La force sur un électron est opposée à celle sur une charge positive.
Sens de la force
vers la gauche
Réponse
F: vers la gauche
8.Champs magnétiques et induction
Réponse: ε = 50 V
Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).
F.é.m. d’auto-induction
La f.é.m. s’oppose à la variation du courant (Lenz), donc son signe est opposé à celui de ΔI ; sa valeur est L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,2·0,5/0,002 = 50 V
Réponse
ε = 50 V
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: L = 1,347 mH
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Condition de résonance
À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·4,7·10⁻⁶) = 1,347 mH
Réponse
L = 1,347 mH
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: B = 3,979 Hz
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Fréquence de résonance
f0 = 1/(2π·√(0,2·10·10⁻⁶)) = 112,5 Hz
Facteur de qualité
Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,2/(10·10⁻⁶)) = 28,28
Bande passante
B = f0/Q = 112,5/28,28 = 3,979 Hz
Réponse
B = 3,979 Hz
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