Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Trois charges ponctuelles sont alignées : +5 µC à gauche, +3 µC à droite à 30 cm, et −8 µC entre elles, à 7,5 cm de la charge de gauche. Trouvez l’intensité de la force électrique résultante F sur la charge du milieu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = +3 µCq_M = −8 µCr_L = 7,5 cmr_R = 22,5 cm

F = N

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Deux petites boules identiques, chacune de masse 3 g, sont suspendues au même point par des fils isolants de 30 cm. On leur donne des charges égales et chaque fil se stabilise à 15° de la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la charge q de chaque boule en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 30 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Transitoires RC et RLMoyen

La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez le courant i à t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitoires RC et RLDifficile

Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 6 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à v_C pour atteindre 10,5 V ? Trouvez t.

V_s = 15 VR = 3,3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Une particule alpha se déplace à 3 × 10⁶ m/s perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de 1,5 T. Trouvez le rayon r de sa trajectoire circulaire.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 1,5 T

r = cm

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Deux bobines d’auto-inductances 20 mH et 50 mH ont un coefficient de couplage de 0,75. Le courant dans la première bobine varie de 1000 A/s. Trouvez la f.é.m. ε induite dans la seconde bobine.

L₁ = 20 mHL₂ = 50 mHk = 0,75di/dt = 1000 A/s

ε = V

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Un circuit RLC série avec L = 5 mH doit résonner à 2000 Hz. Trouvez la capacité C nécessaire.

f₀ = 2000 HzL = 5 mH

C = µF

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série est alimenté par une source de 2 V (efficace) dont la fréquence est réglée sur la fréquence de résonance du circuit. Trouvez la tension efficace V_L aux bornes de la bobine.

V = 2 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: F = 59,67 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Force due à chaque charge

La droite est positive.

F_L = −k·5·8 × 10⁻¹²/0,075² = −63,93 N

F_R = +k·3·8 × 10⁻¹²/0,225² = 4,262 N

Force résultante

F = −63,93 + (4,262) = −59,67 N → |F| = 59,67 N

Réponse

F = 59,67 N

La force résultante est dirigée vers la gauche.

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: q = 145,4 nC

Force électrique d’après l’équilibre

La composante horizontale de la tension équilibre F, sa composante verticale équilibre m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 15° = 0,007886 N

Distance entre les boules

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 15° = 0,1553 m

Charge

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1553·√(0,007886/8,99 × 10⁹) = 1,454 × 10⁻⁷ C = 145,4 nC

Réponse

q = 145,4 nC

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 0,4045 A

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6,207 Ω

R_eq = R₁ + 6,207 = 3 + 6,207 = 9,207 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/9,207 = 1,303 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,303·3 = 8,09 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,09/20 = 0,4045 A

Réponse

I_R2 = 0,4045 A

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 36,13 Ω

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 12 + 10 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 12,69 Ω

R₃ + 12,69 = 17,69 Ω

R₂ ∥ 17,69 = 11,13 Ω

R_eq = R₁ + 11,13 = 25 + 11,13 = 36,13 Ω

Réponse

R_eq = 36,13 Ω

5.Transitoires RC et RL

Réponse: i = 0,3162 A

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Constante de temps et courant final

Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

Courant à l’instant donné

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3191·(1 − e^−1/0,2128) = 0,3162 A

Réponse

i = 0,3162 A

6.Transitoires RC et RL

Réponse: t = 107,5 ms

Valeur initiale, valeur finale, constante de temps

La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 15 + (6 − 15)·e^−t/τ

Isoler le temps

10,5 = 15 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10,5 − 15)/(6 − 15) = 0,5

t = τ·ln((6 − 15)/(10,5 − 15)) = 155,1·ln(2) = 107,5 ms

Réponse

t = 107,5 ms

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: r = 4,148 cm

Forces magnétiques : un fil rectiligne parcouru par I dans un champ B subit F = BIL·sin θ, et une charge en mouvement F = |q|vB·sin θ, où θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et B. La force est perpendiculaire aux deux : pointez les doigts de la main droite le long de I ou v, enroulez-les vers B, et le pouce donne F pour une charge positive ; inversez le sens pour une charge négative. Comme F est perpendiculaire à v, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle : |q|vB = mv²/r donne r = mv/(|q|B) et la période T = 2πm/(|q|B), qui ne dépend pas de la vitesse. Deux fils parallèles s’attirent quand les courants sont de même sens : F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Équilibre des forces

La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse, elle courbe donc la trajectoire en cercle.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Rayon

r = 6,645 × 10⁻²⁷·3 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,04148 m = 4,148 cm

Réponse

r = 4,148 cm

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: ε = 23,72 V

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

Inductance mutuelle

M = 0,75·√(20·50) = 23,72 mH

F.é.m. induite

ε = M·di/dt = 0,02372·1000 = 23,72 V

Réponse

ε = 23,72 V

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: C = 1,267 µF

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Condition de résonance

À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,005) = 1,267 µF

Réponse

C = 1,267 µF

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: V_L = 56,57 V

Résonance

À la résonance, les réactances s’annulent, donc l’impédance se réduit à R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·0,1·10⁻⁶) = 7071 rad/s

I = V/R = 2/50 = 0,04 A

Tension aux bornes de la bobine

X_L = ω₀L = 7071·0,2 = 1414 Ω

V_L = I·X_L = 0,04·1414 = 56,57 V

Réponse

V_L = 56,57 V

Cela fait Q = 28,28 fois la tension d’alimentation.

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