Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Deux petites sphères métalliques identiques portent des charges de −5 µC et −6 µC. On les met en contact, puis on les replace à 5 cm l’une de l’autre. Trouvez l’intensité de la force F qui s’exerce maintenant entre elles. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = −6 µCr = 5 cm

F = N

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Trois charges ponctuelles positives sont placées aux sommets d’un triangle rectangle : q₃ = 1 µC est au sommet de l’angle droit, q₁ = 1 µC est à 3 cm de q₃ le long d’un côté et q₂ = 4 µC à 8 cm de q₃ le long de l’autre côté. Trouvez l’intensité de la force électrique résultante F sur q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 4 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Transitoires RC et RLMoyen

La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez la tension v_L aux bornes de la bobine à t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitoires RC et RLDifficile

Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 2 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à v_C pour atteindre 10 V ? Trouvez t.

V_s = 12 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Une tige métallique de 40 cm de long glisse à 3 m/s sur deux rails dans un champ uniforme de 0,1 T entrant dans la page. Les rails sont reliés par une résistance de 8 Ω ; la tige et les rails ont une résistance négligeable. Trouvez le courant I.

B = 0,1 TL = 40 cmv = 3 m/sR = 8 Ω

I = mA

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Une bobine de 150 spires, de 20 cm × 5 cm, tourne dans un champ uniforme de 0,25 T autour d’un axe perpendiculaire au champ. À quelle vitesse n (en tours par minute) doit-elle tourner pour donner une f.é.m. efficace de 24,99 V ?

N = 150A = 20 cm × 5 cmB = 0,25 TE_rms = 24,99 V

n = rpm

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Un circuit RLC série est alimenté sous 10 V (efficaces), 50 Hz. Trouvez le courant efficace I.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez la fréquence de résonance f₀ du circuit.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: F = 108,8 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Charge après contact

q′ = (−5 + −6)/2 = −5,5 µC

Nouvelle force

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 108,8 N

Réponse

F = 108,8 N

Les deux sphères portent maintenant des charges de même signe, donc elles se repoussent.

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: F = 11,46 N

Loi de Coulomb : deux charges ponctuelles s’attirent ou se repoussent avec F = k·|q₁·q₂|/r², où k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Le champ d’une charge ponctuelle vaut E = k·|q|/r² ; il est dirigé en s’éloignant d’une charge positive et vers une charge négative. Les forces et les champs de plusieurs charges s’additionnent comme des vecteurs.

Chaque force sur q₃

F₁ = k·1·1 × 10⁻¹²/0,03² = 9,989 N

F₂ = k·4·1 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N

Somme vectorielle

F = √(9,989² + 5,619²) = 11,46 N

Réponse

F = 11,46 N

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 14,5 Ω

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 3 + 2 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω

R_eq = R₁ + 2,5 = 12 + 2,5 = 14,5 Ω

Réponse

R_eq = 14,5 Ω

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 0,4672 A

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 8,108 Ω

R₃ + 8,108 = 23,11 Ω

R₂ ∥ 23,11 = 12,01 Ω

R_eq = R₁ + 12,01 = 25 + 12,01 = 37,01 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/37,01 = 0,9728 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 0,9728·25 = 11,68 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,68/25 = 0,4672 A

Réponse

I_R2 = 0,4672 A

5.Transitoires RC et RL

Réponse: v_L = 0,06369 V

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Constante de temps et courant final

Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0,22 ms

i(∞) = V_s/R = 6/100 = 0,06 A

Tension aux bornes de la bobine

À t = 0, toute la tension d’alimentation apparaît aux bornes de la bobine ; elle décroît ensuite jusqu’à zéro.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/0,22 = 0,06369 V

Réponse

v_L = 0,06369 V

6.Transitoires RC et RL

Réponse: t = 249,6 ms

Valeur initiale, valeur finale, constante de temps

La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 12 + (2 − 12)·e^−t/τ

Isoler le temps

10 = 12 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10 − 12)/(2 − 12) = 0,2

t = τ·ln((2 − 12)/(10 − 12)) = 155,1·ln(5) = 249,6 ms

Réponse

t = 249,6 ms

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: I = 15 mA

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

F.é.m. de mouvement

ε = BLv = 0,1·0,4·3 = 0,12 V

Courant

I = ε/R = 0,12/8 = 0,015 A

Réponse

I = 15 mA

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: n = 900 rpm

F.é.m. crête

E₀ = √2·E_rms = 35,34 V

Vitesse angulaire

ω = E₀/(NBA) = 35,34/(150·0,25·0,01) = 94,24 rad/s

Tours par minute

n = 60·94,24/(2π) = 900 rpm

Réponse

n = 900 rpm

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: I = 0,1166 A

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactances

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impédance

En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (31)²) = 85,8 Ω

Courant

Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.

I = V/|Z| = 10/85,8 = 0,1166 A

Réponse

I = 0,1166 A

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: f₀ = 50,33 Hz

Résonance

À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC). La fréquence d’alimentation n’intervient pas.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·100·10⁻⁶)) = 50,33 Hz

Réponse

f₀ = 50,33 Hz

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