Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Des charges de +3 µC et +6 µC sont distantes de 50 cm. À quelle distance x de la charge de +3 µC, sur le segment qui les relie, le champ électrique est-il nul ?

q₁ = +3 µCq₂ = +6 µCd = 50 cm

x = cm

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Un électron entre dans le champ uniforme situé entre deux plaques parallèles en se déplaçant parallèlement à celles-ci à 3 × 10⁷ m/s. Les plaques mesurent 10 cm de long et le champ entre elles vaut 1600 N/C. Charge de l’électron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masse 9,109 × 10⁻³¹ kg ; négligez la pesanteur. De quelle distance y est-il dévié latéralement à la sortie des plaques ? Donnez la réponse en mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 1600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitoires RC et RLMoyen

La bobine est parcourue par un courant permanent de 0,5 A. À t = 0, l’interrupteur ferme la boucle à travers R et la source est retirée, donc le courant de la bobine décroît à travers R. Combien de temps faut-il pour que le courant descende à 0,1 A ? Trouvez t.

i(0) = 0,5 AR = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Transitoires RC et RLDifficile

L’interrupteur est fermé depuis longtemps, donc le circuit est en régime permanent. À t = 0, l’interrupteur s’ouvre. Trouvez la tension du condensateur v_C à t = 1000 ms.

V_s = 10 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 220 µFt = 1000 ms

v_C = V

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Un proton se déplace à 1 × 10⁵ m/s perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de 0,1 T. Trouvez le rayon r de sa trajectoire circulaire.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁵ m/sB = 0,1 T

r = cm

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Un long solénoïde à noyau d’air a 300 spires, une longueur de 15 cm et un diamètre de 1,5 cm. Trouvez son auto-inductance L.

N = 300l = 15 cm⌀ = 1,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Un circuit RLC série est alimenté sous 50 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez le courant efficace I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 60 Hz. Trouvez la fréquence de résonance f₀ du circuit.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: x = 20,71 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Champs égaux

3/x² = 6/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(6/3) = 1,414

Position

x = 50/(1 + 1,414) = 20,71 cm

Réponse

x = 20,71 cm

Le point de champ nul est toujours plus proche de la plus petite charge.

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: y = 1,563 mm

Temps passé entre les plaques

t = L/v₀ = 0,1/3 × 10⁷ = 3,333 × 10⁻⁹ s

Accélération latérale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1600/9,109 × 10⁻³¹ = 2,814 × 10¹⁴ m/s²

Flèche

y = ½·a·t² = ½·2,814 × 10¹⁴·(3,333 × 10⁻⁹)² = 0,001563 m = 1,563 mm

Réponse

y = 1,563 mm

L’électron est poussé vers la plaque positive, à l’opposé du sens du champ.

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 8,273 Ω

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 4·18/(4+18) = 3,273 Ω

R_eq = R₁ + 3,273 = 5 + 3,273 = 8,273 Ω

Réponse

R_eq = 8,273 Ω

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 0,1312 A

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 2,25 Ω

R₃ + 2,25 = 32,25 Ω

R₂ ∥ 32,25 = 12,34 Ω

R_eq = R₁ + 12,34 = 30 + 12,34 = 42,34 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/42,34 = 0,2125 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,2125·30 = 2,624 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,624/20 = 0,1312 A

Réponse

I_R2 = 0,1312 A

5.Transitoires RC et RL

Réponse: t = 10,73 ms

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Constante de temps

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

Isoler le temps

0,1 = 0,5·e^−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,1)

t = 6,667·ln(5) = 10,73 ms

Réponse

t = 10,73 ms

6.Transitoires RC et RL

Réponse: v_C = 0,5067 V

Tension initiale du condensateur

En régime permanent, le condensateur est un circuit ouvert, donc R₁ et R₂ forment un diviseur de tension. La tension du condensateur ne peut pas varier brusquement à l’ouverture de l’interrupteur.

v_C(0) = 10·2,2/(3,3 + 2,2) = 4 V

Constante de temps après l’ouverture de l’interrupteur

τ = R₂·C = 2,2·220 = 484 ms

Décharge

v_C(t) = 4·e^−1000/484 = 0,5067 V

Réponse

v_C = 0,5067 V

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: r = 1,044 cm

Forces magnétiques : un fil rectiligne parcouru par I dans un champ B subit F = BIL·sin θ, et une charge en mouvement F = |q|vB·sin θ, où θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et B. La force est perpendiculaire aux deux : pointez les doigts de la main droite le long de I ou v, enroulez-les vers B, et le pouce donne F pour une charge positive ; inversez le sens pour une charge négative. Comme F est perpendiculaire à v, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle : |q|vB = mv²/r donne r = mv/(|q|B) et la période T = 2πm/(|q|B), qui ne dépend pas de la vitesse. Deux fils parallèles s’attirent quand les courants sont de même sens : F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Équilibre des forces

La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse, elle courbe donc la trajectoire en cercle.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Rayon

r = 1,673 × 10⁻²⁷·1 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,1) = 0,01044 m = 1,044 cm

Réponse

r = 1,044 cm

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: L = 133,2 µH

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

Section

A = π·(0,0075)² = 0,0001767 m²

Auto-inductance

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0,0001767/0,15 = 0,0001332 H = 133,2 µH

Réponse

L = 133,2 µH

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: I = 0,25 A

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactances

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impédance

En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−173,2)²) = 200 Ω

Courant

Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.

I = V/|Z| = 50/200 = 0,25 A

Réponse

I = 0,25 A

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: f₀ = 519,1 Hz

Résonance

À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC). La fréquence d’alimentation n’intervient pas.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·4,7·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Réponse

f₀ = 519,1 Hz

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