Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Une charge de +10 µC et une charge de −5 µC sont distantes de 40 cm. Le point P se trouve sur le segment qui les relie, à 20 cm de la première charge. Trouvez l’intensité du champ électrique E en P.

q₁ = +10 µCq₂ = −5 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Deux petites boules identiques, chacune de masse 10 g, sont suspendues au même point par des fils isolants de 100 cm. On leur donne des charges égales et chaque fil se stabilise à 5° de la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la charge q de chaque boule en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 100 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Transitoires RC et RLMoyen

La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez la tension v_L aux bornes de la bobine à t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitoires RC et RLDifficile

L’interrupteur est fermé depuis longtemps, donc le circuit est en régime permanent. À t = 0, l’interrupteur s’ouvre. Trouvez la tension du condensateur v_C à t = 750 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 750 ms

v_C = V

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Une tige métallique de 25 cm de long glisse à 10 m/s sur deux rails dans un champ uniforme de 0,6 T entrant dans la page. Les rails sont reliés par une résistance de 4 Ω ; la tige et les rails ont une résistance négligeable. Trouvez la force F nécessaire pour maintenir la tige à vitesse constante (sans frottement).

B = 0,6 TL = 25 cmv = 10 m/sR = 4 Ω

F = mN

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Un long solénoïde à noyau d’air a 500 spires, une longueur de 20 cm et un diamètre de 2 cm. Trouvez son auto-inductance L.

N = 500l = 20 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Un circuit RLC série est alimenté sous 12 V (efficaces), 500 Hz. Trouvez le facteur de puissance cos φ du circuit.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

cos φ =

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 60 Hz. Trouvez la tension efficace V_C aux bornes du condensateur.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 100 µF

V_C = V

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: E = 3,371 × 10⁶ N/C

Loi de Coulomb : deux charges ponctuelles s’attirent ou se repoussent avec F = k·|q₁·q₂|/r², où k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Le champ d’une charge ponctuelle vaut E = k·|q|/r² ; il est dirigé en s’éloignant d’une charge positive et vers une charge négative. Les forces et les champs de plusieurs charges s’additionnent comme des vecteurs.

Champ de chaque charge

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,2² = 1,124 × 10⁶ N/C

Sens et somme

Le premier champ s’éloigne de la charge positive et le second pointe vers la charge négative : les deux sont dans le même sens.

E = |2,247 × 10⁶ + 1,124 × 10⁶| = 3,371 × 10⁶ N/C

Réponse

E = 3,371 × 10⁶ N/C

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: q = 170,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Force électrique d’après l’équilibre

La composante horizontale de la tension équilibre F, sa composante verticale équilibre m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 5° = 0,008583 N

Distance entre les boules

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 5° = 0,1743 m

Charge

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1743·√(0,008583/8,99 × 10⁹) = 1,703 × 10⁻⁷ C = 170,3 nC

Réponse

q = 170,3 nC

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 0,5417 A

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 20·26/(20+26) = 11,3 Ω

R_eq = R₁ + 11,3 = 20 + 11,3 = 31,3 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/31,3 = 0,9583 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 0,9583·20 = 10,83 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,83/20 = 0,5417 A

Réponse

I_R2 = 0,5417 A

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 0,4088 A

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 30 + 15 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 18 Ω

R₃ + 18 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 4,875 Ω

R_eq = R₁ + 4,875 = 15 + 4,875 = 19,88 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/19,88 = 0,5031 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,5031·15 = 2,453 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,453/6 = 0,4088 A

Réponse

I_R2 = 0,4088 A

5.Transitoires RC et RL

Réponse: v_L = 3,451 V

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Constante de temps et courant final

Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Tension aux bornes de la bobine

À t = 0, toute la tension d’alimentation apparaît aux bornes de la bobine ; elle décroît ensuite jusqu’à zéro.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−1/0,94 = 3,451 V

Réponse

v_L = 3,451 V

6.Transitoires RC et RL

Réponse: v_C = 2,371 V

Tension initiale du condensateur

En régime permanent, le condensateur est un circuit ouvert, donc R₁ et R₂ forment un diviseur de tension. La tension du condensateur ne peut pas varier brusquement à l’ouverture de l’interrupteur.

v_C(0) = 12·10/(6,8 + 10) = 7,143 V

Constante de temps après l’ouverture de l’interrupteur

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

Décharge

v_C(t) = 7,143·e^−750/680 = 2,371 V

Réponse

v_C = 2,371 V

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: F = 56,25 mN

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

F.é.m. de mouvement

ε = BLv = 0,6·0,25·10 = 1,5 V

Courant

I = ε/R = 1,5/4 = 0,375 A

Force de freinage

Loi de Lenz : la force sur le courant induit s’oppose au mouvement.

F = BIL = 0,6·0,375·0,25 = 0,05625 N

Réponse

F = 56,25 mN

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: L = 493,5 µH

Section

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Auto-inductance

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·500²·0,0003142/0,2 = 0,0004935 H = 493,5 µH

Réponse

L = 493,5 µH

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: cos φ = 0,1108

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactances

X_L = 785,4 Ω, X_C = 67,73 Ω

Impédance

|Z| = √(80² + (717,7)²) = 722,1 Ω

Facteur de puissance

cos φ = R/|Z| = 80/722,1 = 0,1108

Le circuit est inductif, donc le facteur de puissance est inductif (courant en retard).

Réponse

cos φ = 0,1108

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: V_C = 74,2 V

Réactances

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impédance

En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−18,99)²) = 82,22 Ω

Courant

Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.

I = V/|Z| = 230/82,22 = 2,797 A

Tension aux bornes du condensateur

V_C = I·X_C = 2,797·26,53 = 74,2 V

Réponse

V_C = 74,2 V

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