Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Des charges de +5 µC et +4 µC sont distantes de 50 cm. À quelle distance x de la charge de +5 µC, sur le segment qui les relie, le champ électrique est-il nul ?

q₁ = +5 µCq₂ = +4 µCd = 50 cm

x = cm

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Un électron entre dans le champ uniforme situé entre deux plaques parallèles en se déplaçant parallèlement à celles-ci à 3,5 × 10⁷ m/s. Les plaques mesurent 5 cm de long et le champ entre elles vaut 3600 N/C. Charge de l’électron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masse 9,109 × 10⁻³¹ kg ; négligez la pesanteur. De quelle distance y est-il dévié latéralement à la sortie des plaques ? Donnez la réponse en mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 3600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Transitoires RC et RLMoyen

La source Vₛ charge le condensateur à travers R₁, et R₂ est branchée en parallèle avec C. Le condensateur est déchargé quand l’interrupteur se ferme à t = 0. Trouvez la tension du condensateur v_C à t = 150 ms.

V_s = 20 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 150 ms

v_C = V

6.Transitoires RC et RLDifficile

Un temporisateur commence à t = 0 à charger un condensateur déchargé à travers une résistance à partir d’une alimentation de 15 V. Il doit se déclencher quand la tension du condensateur atteint 11,25 V, exactement 10 ms après le départ. Avec C = 1 µF, trouvez la résistance R nécessaire.

V_s = 15 VV_th = 11,25 VT = 10 msC = 1 µF

R = kΩ

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Une bobine de 50 spires a une aire de 25 cm². La bobine se trouve dans un champ uniforme de 0,4 T perpendiculaire à son plan, et le champ est coupé en 40 ms. Trouve la f.é.m. induite moyenne ε.

N = 50A = 25 cm²B = 0,4 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Un long solénoïde à noyau d’air a 400 spires, une longueur de 25 cm et un diamètre de 2 cm. Trouvez son auto-inductance L.

N = 400l = 25 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Une résistance et une bobine sont branchées en parallèle sur une alimentation de 100 V (efficace), 50 Hz. Trouvez le courant efficace I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 20 mH

I = A

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série est alimenté sous 24 V (efficaces), 50 Hz. Trouvez la fréquence de résonance f₀ du circuit.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: x = 26,39 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Champs égaux

5/x² = 4/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(4/5) = 0,8944

Position

x = 50/(1 + 0,8944) = 26,39 cm

Réponse

x = 26,39 cm

Le point de champ nul est toujours plus proche de la plus petite charge.

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: y = 0,6461 mm

Temps passé entre les plaques

t = L/v₀ = 0,05/3,5 × 10⁷ = 1,429 × 10⁻⁹ s

Accélération latérale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3600/9,109 × 10⁻³¹ = 6,331 × 10¹⁴ m/s²

Flèche

y = ½·a·t² = ½·6,331 × 10¹⁴·(1,429 × 10⁻⁹)² = 0,0006461 m = 0,6461 mm

Réponse

y = 0,6461 mm

L’électron est poussé vers la plaque positive, à l’opposé du sens du champ.

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 0,443 A

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 6·7/(6+7) = 3,231 Ω

R_eq = R₁ + 3,231 = 15 + 3,231 = 18,23 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/18,23 = 0,8228 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,8228·15 = 2,658 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,658/6 = 0,443 A

Réponse

I_R2 = 0,443 A

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 2,701 A

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3,059 Ω

R₃ + 3,059 = 15,06 Ω

R₂ ∥ 15,06 = 6,009 Ω

R_eq = R₁ + 6,009 = 2 + 6,009 = 8,009 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/8,009 = 4,495 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 4,495·2 = 27,01 V

I_R2 = V_A/R₂ = 27,01/10 = 2,701 A

Réponse

I_R2 = 2,701 A

5.Transitoires RC et RL

Réponse: v_C = 3,932 V

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Équivalent de Thévenin vu par le condensateur

Court-circuitez la source pour trouver R_th ; ouvrez le condensateur pour trouver la tension vers laquelle il tendra.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·1/(2,2 + 1) = 0,6875 kΩ

v_C(∞) = 20·1/(2,2 + 1) = 6,25 V

Constante de temps

τ = R_th·C = 0,6875·220 = 151,3 ms

Courbe de charge

v_C(t) = 6,25·(1 − e^−150/151,3) = 3,932 V

Réponse

v_C = 3,932 V

6.Transitoires RC et RL

Réponse: R = 7,213 kΩ

Constante de temps requise

11,25 = 15·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 11,25))

τ = 10/1,386 = 7,213 ms

Résistance

Des kΩ multipliés par des µF donnent des millisecondes.

R = τ/C = 7,213/1 = 7,213 kΩ

Réponse

R = 7,213 kΩ

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: ε = 1,25 V

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

Variation de flux par spire

ΔΦ = 0,4·0,0025 = 0,001 Wb

F.é.m. moyenne

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,001/0,04 = 1,25 V

Réponse

ε = 1,25 V

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: L = 252,7 µH

Section

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Auto-inductance

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0,0003142/0,25 = 0,0002527 H = 252,7 µH

Réponse

L = 252,7 µH

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: I = 16,41 A

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactance

X_L = ωL = 2π·50·0,02 = 6,283 Ω

Courants de branche

Les deux branches sont branchées directement sur l’alimentation, donc chacune est soumise à toute la tension V.

I_R = V/R = 100/25 = 4 A

I_X = V/X_L = 100/6,283 = 15,92 A

Courant total

Le courant dans la résistance est en phase avec V et le courant réactif est déphasé de 90°, donc ils se combinent comme les côtés d’un triangle rectangle.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4² + 15,92²) = 16,41 A

Réponse

I = 16,41 A

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: f₀ = 59,94 Hz

Résonance

À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC). La fréquence d’alimentation n’intervient pas.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·47·10⁻⁶)) = 59,94 Hz

Réponse

f₀ = 59,94 Hz

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