Loi de Coulomb et champ électrique
- Loi de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Champ d’une charge ponctuelle
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Force sur une charge
- F = q·E
Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Résistances en série et en parallèle
- Résistances en série
- Req = R1 + R2 + …
- Résistances en parallèle
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Deux en parallèle
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Loi d’Ohm
- V = I·R
- Puissance
- P = V·I = I²R = V²/R
Méthode
- Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
- Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Redessinez le circuit après chaque étape.
- Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.
Transitoires RC et RL
- Constante de temps
- τ = RC | τ = L/R
- Réponse
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensateur en continu
- circuit ouvert ; vC ne peut pas sauter
- Bobine en continu
- court-circuit ; iL ne peut pas sauter
- Régime établi
- t ≈ 5τ
Méthode
- Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
- Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
- Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
- Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Champs magnétiques et induction
- Long fil rectiligne
- B = μ0I/(2πr)
- Centre d’une bobine plate
- B = μ0NI/(2R)
- Long solénoïde
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Force sur un fil
- F = BIL·sin θ
- Force sur une charge
- F = |q|vB·sin θ
- Mouvement circulaire
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fils parallèles
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flux
- Φ = BA·cos θ
- Loi de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Tige en mouvement
- ε = BLv
- Alternateur
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Inductance
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Inductance mutuelle
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Sélecteur de vitesse et spectromètre
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Méthode
- Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
- Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
- Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
- Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.
Impédance et phaseurs en alternatif
- Impédances
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsation
- ω = 2πf
- Module et argument
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Loi d’Ohm en phaseurs
- V = I·Z
Méthode
- Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
- Trouvez chaque réactance : XL = ωL et XC = 1/(ωC).
- Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
- Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.
2Exercices
1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen
Trois charges ponctuelles sont alignées : +4 µC à gauche, −10 µC à droite à 20 cm, et −3 µC entre elles, à 8 cm de la charge de gauche. Trouvez l’intensité de la force électrique résultante F sur la charge du milieu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +4 µCqR = −10 µCqM = −3 µCrL = 8 cmrR = 12 cm
F = N
2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile
Deux petites boules identiques, chacune de masse 10 g, sont suspendues au même point par des fils isolants de 100 cm. On leur donne des charges égales et chaque fil se stabilise à 15° de la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la charge q de chaque boule en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 10 gL = 100 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Résistances en série et en parallèleMoyen
Trouvez le courant IR2 dans R2.
V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.Résistances en série et en parallèleDifficile
Trouvez le courant IR1 fourni par la source, qui traverse R1.
V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 30 ΩR5 = 30 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
5.Transitoires RC et RLMoyen
La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez le courant i à t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.Transitoires RC et RLDifficile
L’interrupteur est fermé depuis longtemps, donc le circuit est en régime permanent. À t = 0, l’interrupteur s’ouvre. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 1000 ms.
Vs = 10 VR1 = 2,2 kΩR2 = 6,8 kΩC = 220 µFt = 1000 ms
vC = V
7.Champs magnétiques et inductionMoyen
Un proton se déplace à 3 × 10⁶ m/s perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de 0,1 T. Trouvez le rayon r de sa trajectoire circulaire.
m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 0,1 T
r = cm
8.Champs magnétiques et inductionDifficile
Un proton traverse sans déviation un sélecteur de vitesse à champs croisés E = 8 × 10⁴ V/m et B₁ = 0,25 T. Elle entre ensuite dans une seconde région avec seulement un champ magnétique B₂ = 0,5 T, à angle droit. Trouvez le rayon r de sa trajectoire dans cette région.
E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0,25 TB2 = 0,5 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 50 V (efficaces), 500 Hz. Trouvez le déphasage φ de l’impédance, en degrés (positif quand le courant est en retard sur la tension).
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série est alimenté sous 12 V (efficaces), 60 Hz. Trouvez le courant efficace I.
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
3Solutions
1.Loi de Coulomb et champ électrique
Réponse: F = 35,59 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Force due à chaque charge
La droite est positive.
FL = −k·4·3 × 10⁻¹²/0,08² = −16,86 N
FR = −k·10·3 × 10⁻¹²/0,12² = −18,73 N
Force résultante
F = −16,86 + (−18,73) = −35,59 N → |F| = 35,59 N
Réponse
F = 35,59 N
La force résultante est dirigée vers la gauche.
2.Loi de Coulomb et champ électrique
Réponse: q = 885,1 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Force électrique d’après l’équilibre
La composante horizontale de la tension équilibre F, sa composante verticale équilibre m·g.
F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 15° = 0,02629 N
Distance entre les boules
r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 15° = 0,5176 m
Charge
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,5176·√(0,02629/8,99 × 10⁹) = 8,851 × 10⁻⁷ C = 885,1 nC
Réponse
q = 885,1 nC
3.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR2 = 2,133 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 6 + 2 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Req = R1 + 3,429 = 3 + 3,429 = 6,429 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 24/6,429 = 3,733 A
Courant dans R₂
Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 3,733·3 = 12,8 V
IR2 = VA/R2 = 12,8/6 = 2,133 A
Réponse
IR2 = 2,133 A
4.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR1 = 0,2876 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 30 + 25 = 55 Ω
R4 ∥ 55 = 19,41 Ω
R3 + 19,41 = 23,41 Ω
R2 ∥ 23,41 = 4,776 Ω
Req = R1 + 4,776 = 30 + 4,776 = 34,78 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 10/34,78 = 0,2876 A
Réponse
IR1 = 0,2876 A
5.Transitoires RC et RL
Réponse: i = 0,4661 A
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps et courant final
Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.
τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms
i(∞) = Vs/R = 9/15 = 0,6 A
Courant à l’instant donné
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,6·(1 − e−1/0,6667) = 0,4661 A
Réponse
i = 0,4661 A
6.Transitoires RC et RL
Réponse: vC = 3,872 V
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Tension initiale du condensateur
En régime permanent, le condensateur est un circuit ouvert, donc R₁ et R₂ forment un diviseur de tension. La tension du condensateur ne peut pas varier brusquement à l’ouverture de l’interrupteur.
vC(0) = 10·6,8/(2,2 + 6,8) = 7,556 V
Constante de temps après l’ouverture de l’interrupteur
τ = R2·C = 6,8·220 = 1496 ms
Décharge
vC(t) = 7,556·e−1000/1496 = 3,872 V
Réponse
vC = 3,872 V
7.Champs magnétiques et induction
Réponse: r = 31,33 cm
Forces magnétiques : un fil rectiligne parcouru par I dans un champ B subit F = BIL·sin θ, et une charge en mouvement F = |q|vB·sin θ, où θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et B. La force est perpendiculaire aux deux : pointez les doigts de la main droite le long de I ou v, enroulez-les vers B, et le pouce donne F pour une charge positive ; inversez le sens pour une charge négative. Comme F est perpendiculaire à v, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle : |q|vB = mv²/r donne r = mv/(|q|B) et la période T = 2πm/(|q|B), qui ne dépend pas de la vitesse. Deux fils parallèles s’attirent quand les courants sont de même sens : F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Équilibre des forces
La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse, elle courbe donc la trajectoire en cercle.
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
Rayon
r = 1,673 × 10⁻²⁷·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,1) = 0,3133 m = 31,33 cm
Réponse
r = 31,33 cm
8.Champs magnétiques et induction
Réponse: r = 0,6684 cm
Forces magnétiques : un fil rectiligne parcouru par I dans un champ B subit F = BIL·sin θ, et une charge en mouvement F = |q|vB·sin θ, où θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et B. La force est perpendiculaire aux deux : pointez les doigts de la main droite le long de I ou v, enroulez-les vers B, et le pouce donne F pour une charge positive ; inversez le sens pour une charge négative. Comme F est perpendiculaire à v, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle : |q|vB = mv²/r donne r = mv/(|q|B) et la période T = 2πm/(|q|B), qui ne dépend pas de la vitesse. Deux fils parallèles s’attirent quand les courants sont de même sens : F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Vitesse sélectionnée
Sans déviation : la force électrique qE équilibre la force magnétique qvB.
v = E/B1 = 8 × 10⁴/0,25 = 320000 m/s
Rayon dans le second champ
r = mv/(|q|B2) = 0,006684 m = 0,6684 cm
Réponse
r = 0,6684 cm
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: φ = 86,01 °
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω
Impédance
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (717,7)²) = 719,4 Ω
Déphasage
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(717,7/50) = 86,01°
Réponse
φ = 86,01°
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: I = 0,04773 A
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω
Impédance
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−246,4)²) = 251,4 Ω
Courant
Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.
I = V/|Z| = 12/251,4 = 0,04773 A
Réponse
I = 0,04773 A
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