Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Une charge de +5 µC et une charge de +8 µC sont distantes de 30 cm. Le point P se trouve sur le segment qui les relie, à 18 cm de la première charge. Trouvez l’intensité du champ électrique E en P.

q₁ = +5 µCq₂ = +8 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Des charges de +1 µC et −1 µC sont distantes de 8 cm. Le point P se trouve à 12 cm du milieu du segment qui les relie, sur la médiatrice. Trouvez l’intensité du champ électrique E en P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 8 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Transitoires RC et RLMoyen

La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez la tension v_L aux bornes de la bobine à t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitoires RC et RLDifficile

Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 4 V avec la polarité indiquée. Trouvez la tension du condensateur v_C à t = 100 ms.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 4 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Une tige métallique de 50 cm de long glisse à 10 m/s sur deux rails dans un champ uniforme de 0,1 T entrant dans la page. Trouvez la f.é.m. induite ε entre ses extrémités.

B = 0,1 TL = 50 cmv = 10 m/s

ε = mV

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Une bobine de 100 spires, de 10 cm × 10 cm, tourne à 900 tr/min dans un champ uniforme de 0,5 T autour d’un axe perpendiculaire au champ. Trouvez la f.é.m. crête E₀.

N = 100A = 10 cm × 10 cmB = 0,5 Tn = 900 rpm

E₀ = V

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Un circuit RLC série est alimenté sous 120 V (efficaces), 100 Hz. Trouvez le facteur de puissance cos φ du circuit.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

cos φ =

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série est alimenté sous 24 V (efficaces), 60 Hz. Trouvez la tension efficace V_C aux bornes du condensateur.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: E = 3,607 × 10⁶ N/C

Loi de Coulomb : deux charges ponctuelles s’attirent ou se repoussent avec F = k·|q₁·q₂|/r², où k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Le champ d’une charge ponctuelle vaut E = k·|q|/r² ; il est dirigé en s’éloignant d’une charge positive et vers une charge négative. Les forces et les champs de plusieurs charges s’additionnent comme des vecteurs.

Champ de chaque charge

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,18² = 1,387 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,12² = 4,994 × 10⁶ N/C

Sens et somme

Les deux charges sont positives : en P, chaque champ s’éloigne de sa charge, donc les deux sont de sens opposés.

E = |1,387 × 10⁶ − 4,994 × 10⁶| = 3,607 × 10⁶ N/C

Réponse

E = 3,607 × 10⁶ N/C

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: E = 355361 N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distance et champ d’une charge

r = √(4² + 12²) = 12,65 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1265² = 561875 N/C

Composantes

Les composantes le long de la médiatrice s’annulent.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·561875·0,3162 = 355361 N/C

Réponse

E = 355361 N/C

Le champ est parallèle à la droite reliant les charges, dirigé de la charge positive vers la charge négative.

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 10,18 Ω

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 10 + 8 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 15·18/(15+18) = 8,182 Ω

R_eq = R₁ + 8,182 = 2 + 8,182 = 10,18 Ω

Réponse

R_eq = 10,18 Ω

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 3,739 Ω

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 7,297 Ω

R₃ + 7,297 = 13,3 Ω

R₂ ∥ 13,3 = 1,739 Ω

R_eq = R₁ + 1,739 = 2 + 1,739 = 3,739 Ω

Réponse

R_eq = 3,739 Ω

5.Transitoires RC et RL

Réponse: v_L = 2,881 V

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Constante de temps et courant final

Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Tension aux bornes de la bobine

À t = 0, toute la tension d’alimentation apparaît aux bornes de la bobine ; elle décroît ensuite jusqu’à zéro.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/3,03 = 2,881 V

Réponse

v_L = 2,881 V

6.Transitoires RC et RL

Réponse: v_C = 9,228 V

Valeur initiale, valeur finale, constante de temps

La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 24 + (4 − 24)·e^−t/τ

Tension à l’instant donné

v_C(100) = 24 + (−20)·e^−100/330 = 9,228 V

Réponse

v_C = 9,228 V

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: ε = 500 mV

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

F.é.m. de mouvement

ε = BLv = 0,1·0,5·10 = 0,5 V

Réponse

ε = 500 mV

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: E₀ = 47,12 V

Vitesse angulaire et aire

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

A = 0,01 m²

F.é.m. crête

E₀ = NBAω = 100·0,5·0,01·94,25 = 47,12 V

Réponse

E₀ = 47,12 V

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: cos φ = 0,2126

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactances

X_L = 62,83 Ω, X_C = 338,6 Ω

Impédance

|Z| = √(60² + (−275,8)²) = 282,2 Ω

Facteur de puissance

cos φ = R/|Z| = 60/282,2 = 0,2126

Le circuit est capacitif, donc le facteur de puissance est capacitif (courant en avance).

Réponse

cos φ = 0,2126

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: V_C = 23,41 V

Réactances

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impédance

En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−113)²) = 123,6 Ω

Courant

Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.

I = V/|Z| = 24/123,6 = 0,1942 A

Tension aux bornes du condensateur

V_C = I·X_C = 0,1942·120,6 = 23,41 V

Réponse

V_C = 23,41 V

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