Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Une charge de +3 µC et une charge de +10 µC sont distantes de 30 cm. Le point P se trouve sur le segment qui les relie, à 12 cm de la première charge. Trouvez l’intensité du champ électrique E en P.

q₁ = +3 µCq₂ = +10 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Un électron entre dans le champ uniforme situé entre deux plaques parallèles en se déplaçant parallèlement à celles-ci à 4 × 10⁷ m/s. Les plaques mesurent 6 cm de long et le champ entre elles vaut 3200 N/C. Charge de l’électron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masse 9,109 × 10⁻³¹ kg ; négligez la pesanteur. De quelle distance y est-il dévié latéralement à la sortie des plaques ? Donnez la réponse en mm.

v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez le courant I_R1 fourni par la source, qui traverse R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Transitoires RC et RLMoyen

La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez la tension v_L aux bornes de la bobine à t = 5 ms.

V_s = 5 VR = 100 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitoires RC et RLDifficile

L’interrupteur est fermé depuis longtemps, donc le circuit est en régime permanent. À t = 0, l’interrupteur s’ouvre. Trouvez la tension du condensateur v_C à t = 300 ms.

V_s = 6 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 300 ms

v_C = V

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Une bobine de 100 spires a une aire de 50 cm². La bobine est retournée (tournée de 180°) dans un champ uniforme de 0,5 T, perpendiculaire à son plan, en 200 ms. Trouve la f.é.m. induite moyenne ε.

N = 100A = 50 cm²B = 0,5 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Une petite bobine de 100 spires est enroulée serrée autour du milieu d’un long solénoïde de 800 spires, de longueur 30 cm et de diamètre 3 cm. Le courant dans le solénoïde varie de 20 A/s. Trouvez la f.é.m. ε induite dans la petite bobine.

N₁ = 800N₂ = 100l = 30 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 20 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Un circuit RLC série est alimenté sous 100 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez la puissance active P prélevée sur l’alimentation.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

P = W

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série a R = 100 Ω, L = 1 mH et C = 0,01 µF. Trouvez sa bande passante B (la largeur de la bande comprise entre les fréquences de demi-puissance), en Hz.

R = 100 ΩL = 1 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: E = 901775 N/C

Loi de Coulomb : deux charges ponctuelles s’attirent ou se repoussent avec F = k·|q₁·q₂|/r², où k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Le champ d’une charge ponctuelle vaut E = k·|q|/r² ; il est dirigé en s’éloignant d’une charge positive et vers une charge négative. Les forces et les champs de plusieurs charges s’additionnent comme des vecteurs.

Champ de chaque charge

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,12² = 1,873 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,18² = 2,775 × 10⁶ N/C

Sens et somme

Les deux charges sont positives : en P, chaque champ s’éloigne de sa charge, donc les deux sont de sens opposés.

E = |1,873 × 10⁶ − 2,775 × 10⁶| = 901775 N/C

Réponse

E = 901775 N/C

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: y = 0,6331 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Temps passé entre les plaques

t = L/v₀ = 0,06/4 × 10⁷ = 1,5 × 10⁻⁹ s

Accélération latérale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3200/9,109 × 10⁻³¹ = 5,628 × 10¹⁴ m/s²

Flèche

y = ½·a·t² = ½·5,628 × 10¹⁴·(1,5 × 10⁻⁹)² = 0,0006331 m = 0,6331 mm

Réponse

y = 0,6331 mm

L’électron est poussé vers la plaque positive, à l’opposé du sens du champ.

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 13,33 Ω

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 10 + 3,333 = 13,33 Ω

Réponse

R_eq = 13,33 Ω

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R1 = 1,643 A

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 4,952 Ω

R₃ + 4,952 = 8,952 Ω

R₂ ∥ 8,952 = 5,127 Ω

R_eq = R₁ + 5,127 = 4 + 5,127 = 9,127 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9,127 = 1,643 A

Réponse

I_R1 = 1,643 A

5.Transitoires RC et RL

Réponse: v_L = 0,5152 V

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Constante de temps et courant final

Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/100 = 0,05 A

Tension aux bornes de la bobine

À t = 0, toute la tension d’alimentation apparaît aux bornes de la bobine ; elle décroît ensuite jusqu’à zéro.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−5/2,2 = 0,5152 V

Réponse

v_L = 0,5152 V

6.Transitoires RC et RL

Réponse: v_C = 2,598 V

Tension initiale du condensateur

En régime permanent, le condensateur est un circuit ouvert, donc R₁ et R₂ forment un diviseur de tension. La tension du condensateur ne peut pas varier brusquement à l’ouverture de l’interrupteur.

v_C(0) = 6·10/(2,2 + 10) = 4,918 V

Constante de temps après l’ouverture de l’interrupteur

τ = R₂·C = 10·47 = 470 ms

Décharge

v_C(t) = 4,918·e^−300/470 = 2,598 V

Réponse

v_C = 2,598 V

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: ε = 2,5 V

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

Variation de flux par spire

ΔΦ = 2·0,5·0,005 = 0,005 Wb

F.é.m. moyenne

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,005/0,2 = 2,5 V

Réponse

ε = 2,5 V

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: ε = 4,737 mV

Inductance mutuelle

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·100·0,0007069/0,3 = 236,9 µH

F.é.m. induite

ε = M·di/dt = 0,0002369·20 = 4,737 mV

Réponse

ε = 4,737 mV

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: P = 30,12 W

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactances

X_L = 188,5 Ω, X_C = 36,17 Ω

Impédance

|Z| = √(100² + (152,3)²) = 182,2 Ω

Puissance active

Les bobines et les condensateurs ne font que stocker et restituer de l’énergie ; la résistance absorbe toute la puissance active.

I = 100/182,2 = 0,5488 A

P = I²·R = 0,5488²·100 = 30,12 W

Réponse

P = 30,12 W

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: B = 15915 Hz

Fréquence de résonance

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,01·10⁻⁶)) = 50329 Hz

Facteur de qualité

Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,001/(0,01·10⁻⁶)) = 3,162

Bande passante

B = f₀/Q = 50329/3,162 = 15915 Hz

Réponse

B = 15915 Hz

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