Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Des charges de +2 µC et +4 µC sont distantes de 60 cm. À quelle distance x de la charge de +2 µC, sur le segment qui les relie, le champ électrique est-il nul ?

q₁ = +2 µCq₂ = +4 µCd = 60 cm

x = cm

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Deux petites boules identiques, chacune de masse 2 g, sont suspendues au même point par des fils isolants de 100 cm. On leur donne des charges égales et chaque fil se stabilise à 12° de la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la charge q de chaque boule en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 100 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez le courant I_R1 fourni par la source, qui traverse R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Transitoires RC et RLMoyen

La source Vₛ charge le condensateur à travers R₁, et R₂ est branchée en parallèle avec C. Le condensateur est déchargé quand l’interrupteur se ferme à t = 0. Trouvez la constante de temps τ du circuit après la fermeture de l’interrupteur.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µF

τ = ms

6.Transitoires RC et RLDifficile

L’interrupteur aux bornes de R₂ est ouvert depuis longtemps, donc le courant de la bobine est permanent. À t = 0, l’interrupteur se ferme et court-circuite R₂. Trouvez le courant de la bobine i à t = 10 ms.

V_s = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Un proton se déplaçant à 5 × 10⁵ m/s entre dans un champ magnétique uniforme à angle droit et décrit un cercle de rayon 0,6527 cm. Trouvez le champ magnétique B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁵ m/sr = 0,6527 cm

B = T

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Une bobine de 250 spires, de 12 cm × 15 cm, tourne dans un champ uniforme de 0,3 T autour d’un axe perpendiculaire au champ. À quelle vitesse n (en tours par minute) doit-elle tourner pour donner une f.é.m. efficace de 59,98 V ?

N = 250A = 12 cm × 15 cmB = 0,3 TE_rms = 59,98 V

n = rpm

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Une résistance et un condensateur sont branchés en parallèle sur une alimentation de 230 V (efficace), 100 Hz. Trouvez le déphasage φ de l’impédance, en degrés (positif quand le courant est en retard sur la tension).

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩC = 47 µF

φ = °

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Une résistance R₁ est branchée en série avec l’association en parallèle de R₂ et d’un condensateur C, sur une alimentation de 100 V (efficace), 500 Hz. Trouvez le courant efficace I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 60 ΩC = 4,7 µF

I = A

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: x = 24,85 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Champs égaux

2/x² = 4/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(4/2) = 1,414

Position

x = 60/(1 + 1,414) = 24,85 cm

Réponse

x = 24,85 cm

Le point de champ nul est toujours plus proche de la plus petite charge.

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: q = 283,2 nC

Force électrique d’après l’équilibre

La composante horizontale de la tension équilibre F, sa composante verticale équilibre m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 12° = 0,00417 N

Distance entre les boules

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 12° = 0,4158 m

Charge

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,4158·√(0,00417/8,99 × 10⁹) = 2,832 × 10⁻⁷ C = 283,2 nC

Réponse

q = 283,2 nC

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R1 = 0,7627 A

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 20·25/(20+25) = 11,11 Ω

R_eq = R₁ + 11,11 = 2 + 11,11 = 13,11 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/13,11 = 0,7627 A

Réponse

I_R1 = 0,7627 A

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 8,914 Ω

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 6 + 25 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 12,16 Ω

R₃ + 12,16 = 27,16 Ω

R₂ ∥ 27,16 = 4,914 Ω

R_eq = R₁ + 4,914 = 4 + 4,914 = 8,914 Ω

Réponse

R_eq = 8,914 Ω

5.Transitoires RC et RL

Réponse: τ = 151,1 ms

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Équivalent de Thévenin vu par le condensateur

Court-circuitez la source pour trouver R_th ; ouvrez le condensateur pour trouver la tension vers laquelle il tendra.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·3,3/(6,8 + 3,3) = 2,222 kΩ

v_C(∞) = 24·3,3/(6,8 + 3,3) = 7,842 V

Constante de temps

τ = R_th·C = 2,222·68 = 151,1 ms

Réponse

τ = 151,1 ms

6.Transitoires RC et RL

Réponse: i = 0,6493 A

Valeur initiale, valeur finale, constante de temps

Avant t = 0, les deux résistances sont dans la boucle ; ensuite, l’interrupteur fermé court-circuite R₂.

i(0) = 15/(20 + 10) = 0,5 A

i(∞) = 15/20 = 0,75 A

τ = L/R = 220/20 = 11 ms

i(t) = 0,75 + (0,5 − 0,75)·e^−t/τ

Courant à l’instant donné

i(10) = 0,75 + (−0,25)·e^−10/11 = 0,6493 A

Réponse

i = 0,6493 A

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: B = 0,8 T

Forces magnétiques : un fil rectiligne parcouru par I dans un champ B subit F = BIL·sin θ, et une charge en mouvement F = |q|vB·sin θ, où θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et B. La force est perpendiculaire aux deux : pointez les doigts de la main droite le long de I ou v, enroulez-les vers B, et le pouce donne F pour une charge positive ; inversez le sens pour une charge négative. Comme F est perpendiculaire à v, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle : |q|vB = mv²/r donne r = mv/(|q|B) et la période T = 2πm/(|q|B), qui ne dépend pas de la vitesse. Deux fils parallèles s’attirent quand les courants sont de même sens : F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Champ à partir du rayon

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·5 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,006527) = 0,8 T

Réponse

B = 0,8 T

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: n = 600 rpm

Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).

F.é.m. crête

E₀ = √2·E_rms = 84,82 V

Vitesse angulaire

ω = E₀/(NBA) = 84,82/(250·0,3·0,018) = 62,83 rad/s

Tours par minute

n = 60·62,83/(2π) = 600 rpm

Réponse

n = 600 rpm

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: φ = −23,89 °

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactance

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Courants de branche

Les deux branches sont branchées directement sur l’alimentation, donc chacune est soumise à toute la tension V.

I_R = V/R = 230/15 = 15,33 A

I_X = V/X_C = 230/33,86 = 6,792 A

Courant total

Le courant dans la résistance est en phase avec V et le courant réactif est déphasé de 90°, donc ils se combinent comme les côtés d’un triangle rectangle.

I = √(I_R² + I_X²) = √(15,33² + 6,792²) = 16,77 A

Déphasage

Le courant dans le condensateur est en avance sur V, donc le courant total est en avance et l’angle est négatif.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(6,792/15,33) = −23,89°

Réponse

φ = −23,89°

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: I = 1,754 A

Réactance

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Association en parallèle

Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué pour séparer Z_p en parties réelle et imaginaire.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,62 − j29,78 Ω

Impédance totale

Z = 15 + 33,62 − j29,78 = 48,62 − j29,78 Ω

|Z| = √(48,62² + 29,78²) = 57,01 Ω

Courant

I = V/|Z| = 100/57,01 = 1,754 A

Réponse

I = 1,754 A

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