Loi des gaz parfaits
- Loi des gaz parfaits
- pV = nRT
- Constante des gaz parfaits
- R = 8,314 J/(mol·K)
- Loi combinée des gaz
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- Moles
- n = m/M
- Température
- T[K] = T[°C] + 273,15
Thermodynamique 1 : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Bilan d’énergie
- Chaleur sensible
- Q = ṁ·cp·ΔT
- Chaleur latente
- Q = ṁ·hfg
- Mélange
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- Eau
- cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)
Moteurs thermiques et réfrigérateurs
- Rendement
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- Rendement de Carnot
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- COP du réfrigérateur
- COPR = QC/W
- COP de la pompe à chaleur
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- Bilan d’énergie
- QH = W + QC
Cycles moteurs à gaz
- Isentropique, rapport des volumes
- T2/T1 = rk−1
- Isentropique, rapport des pressions
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- Rendement du cycle d’Otto
- η = 1 − 1/rk−1
- Rendement du cycle Diesel
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- Rendement du cycle de Brayton
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- Chaleur apportée
- Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
- Travail net du cycle de Brayton
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- Rendements isentropiques
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- Hypothèse air froid
- k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)
2Exercices
1.Loi des gaz parfaitsMoyen
Un réservoir de 10 L contient 40 g de O₂ à 85 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.
m = 40 gM = 32 g/molV = 10 LT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
Une quantité fixe de CH₄ passe de 350 kPa, 2 L, 10 °C à 700 kPa et 160 °C. Trouvez le nouveau volume V2.
P1 = 350 kPaV1 = 2 LT1 = 10 °CP2 = 700 kPaT2 = 160 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 80 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.
ṁh = 2 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 70 °Ct: 20 → 35 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à 5 °C en extrayant 8,5 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 35 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇H qu’il rejette.
TL = 5 °CTH = 35 °CQ̇L = 8,5 kW
Q̇H = kW
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
Un moteur de Carnot reçoit 150 kW de chaleur d’une source à 750 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 20 °C. Tout son travail entraîne un réfrigérateur de Carnot qui extrait de la chaleur d’un congélateur à -25 °C et rejette lui aussi de la chaleur vers l’environnement à 20 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇L extraite du congélateur.
TH = 750 °CT0 = 20 °CTL = -25 °CQ̇H = 150 kW
Q̇L = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 18 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,8. Au début de la compression, l’air est à 305 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée qin par kilogramme d’air, en kJ/kg.
r = 18rc = 1,8T1 = 305 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.Cycles moteurs à gazDifficile
Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 15. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.
rp = 15k = 1,4
η = %
3Solutions
1.Loi des gaz parfaits
Réponse: P = 372,2 kPa
Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.
Moles
n = m/M = 40/32 = 1,25 mol
T = 85 + 273,15 = 358,1 K
Pression
P = nRT/V = 1,25·8,314·358,1/0,01 = 372,2 kPa
Réponse
P = 372,2 kPa
2.Loi des gaz parfaits
Réponse: V2 = 1,53 L
Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.
Températures absolues
T1 = 283,1 K, T2 = 433,1 K
Loi combinée des gaz
V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(350/700)·(433,1/283,1) = 1,53 L
Réponse
V2 = 1,53 L
3.Bilan d’énergie
Réponse: tout = 71,7 °C
Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).
Chaleur cédée par le flux chaud
Q = 2·2,44·(140 − 80) = 292,8 kW
Chaleur reçue par l’eau
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 292,8/(1,5·4,18) = 71,7 °C
Réponse
tout = 71,7 °C
4.Bilan d’énergie
Réponse: ṁc = 9,761 kg/s
Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.
Chaleur cédée
Qh = 2·3,6·(170 − 70) = 720 kW
Chaleur qui atteint l’eau
Qc = (1 − 0,15)·720 = 612 kW
Débit d’eau
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 612/(4,18·15) = 9,761 kg/s
Réponse
ṁc = 9,761 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs
Réponse: Q̇H = 9,417 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Températures absolues
TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K
Rapport des chaleurs en réversible
Q̇H = Q̇L·TH/TL = 8,5·308,1/278,1 = 9,417 kW
Réponse
Q̇H = 9,417 kW
Puissance consommée : Ẇ = 0,9168 kW.
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs
Réponse: Q̇L = 590,2 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Températures absolues
TH = 750 + 273,15 = 1023 K
T0 = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = -25 + 273,15 = 248,1 K
Travail du moteur
η = 1 − 293,1/1023 = 0,7135
Ẇ = 0,7135·150 = 107 kW
Chaleur extraite par le réfrigérateur
COPR = 248,1/(293,1 − 248,1) = 5,514
Q̇L = 5,514·107 = 590,2 kW
Réponse
Q̇L = 590,2 kW
7.Cycles moteurs à gaz
Réponse: qin = 779,2 kJ/kg
Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Températures
T2 = 305·180,4 = 969,2 K
T3 = 1,8·969,2 = 1745 K
Chaleur apportée à pression constante
qin = 1,005·(1745 − 969,2) = 779,2 kJ/kg
Réponse
qin = 779,2 kJ/kg
8.Cycles moteurs à gaz
Réponse: η = 53,87 %
Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.
Rendement thermique
η = 1 − 1/150,2857 = 1 − 1/2,168 = 53,87%
Réponse
η = 53,87%
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