Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
430 g de CH₄P = 150 kPaT = 25 °CV = ?

Quel volume V occupent 430 g de CH₄ à 150 kPa et 25 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 430 gM = 16,04 g/molP = 150 kPaT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de N₂ passe de 350 kPa, 2 L, 15 °C à 200 kPa et 210 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 350 kPaV1 = 2 LT1 = 15 °CP2 = 200 kPaT2 = 210 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 140 °C60 °Ceau · 25 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 180 °C90 °Ceau · 30 °C90 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 1 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 90 °Ct: 30 → 90 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 725 °CTL​ = ?EQH​ = 2900 kJQL​ = 968 kJW

Un moteur thermique réversible (de Carnot) reçoit 2900 kJ de chaleur d’une source à 725 °C et en rejette 968 kJ par cycle. Trouvez la température TL de la source froide en °C.

TH = 725 °CQH = 2900 kJQL = 968 kJ
TL = °C
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
800 °CTm​ = ?20 °CABWA​WB​

Deux moteurs de Carnot fonctionnent en série. Le moteur A reçoit de la chaleur d’une source à 800 °C et rejette de la chaleur vers une source intermédiaire à la température Tm. Le moteur B prend toute cette chaleur et rejette de la chaleur vers une source à 20 °C. Les deux moteurs ont le même rendement thermique. Trouvez Tm en °C.

TH = 800 °CTL = 20 °C
Tm = °C
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 19 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,8. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 19rc = 1,8k = 1,4
η = %
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 8. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1100 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 8T1 = 288 KT3 = 1100 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 443 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 430/16,04 = 26,81 mol
T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Volume

V = nRT/P = 26,81·8,314·298,1/150 = 443 L

Réponse

V = 443 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 5,869 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 288,1 K, T2 = 483,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(350/200)·(483,1/288,1) = 5,869 L

Réponse

V2 = 5,869 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 56,13 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2·2,44·(140 − 60) = 390,4 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 390,4/(3·4,18) = 56,13 °C

Réponse

tout = 56,13 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 1,098 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 1·3,6·(180 − 90) = 324 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·324 = 275,4 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 275,4/(4,18·60) = 1,098 kg/s

Réponse

ṁc = 1,098 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: TL = 60,03 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Température absolue de la source

TH = 725 + 273,15 = 998,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

TL = TH·QL/QH = 998,1·968/2900 = 333,2 K = 60,03 °C

Réponse

TL = 60,03 °C
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Tm = 287,7 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 800 + 273,15 = 1073 K
TL = 20 + 273,15 = 293,1 K

Rendements égaux

1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm donne Tm² = TH·TL.

Tm = √(1073·293,1) = 560,9 K = 287,7 °C

Réponse

Tm = 287,7 °C
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 64,88 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Terme d’injection

(1,81,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Rendement thermique

η = 1 − 0,308·1,14 = 64,88%

Réponse

η = 64,88%
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 260,3 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2 = 288·80,2857 = 521,7 K
T4 = 1100/80,2857 = 607,2 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(521,7 − 288) = 234,9 kJ/kg
wt = 1,005·(1100 − 607,2) = 495,2 kJ/kg

Travail net

wnet = 495,2 − 234,9 = 260,3 kJ/kg

Réponse

wnet = 260,3 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 47,43%.

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