Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Un réservoir de 50 L contient 480 g de CO₂ à 55 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 480 gM = 44,01 g/molV = 50 LT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de Ar à 450 kPa et 70 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 39,95 g/molP = 450 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Ct: 25 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 350 °C et une source froide à 10 °C. Trouvez le rendement thermique maximal possible η_max.

T_H = 350 °CT_L = 10 °C

η_max = %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un moteur de Carnot reçoit 60 kW de chaleur d’une source à 950 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 20 °C. Tout son travail entraîne un réfrigérateur de Carnot qui extrait de la chaleur d’un congélateur à -5 °C et rejette lui aussi de la chaleur vers l’environnement à 20 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇_L extraite du congélateur.

T_H = 950 °CT₀ = 20 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 60 kW

Q̇_L = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 20 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 1,8. Au début de la compression, l’air est à 310 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T₃ à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 20r_c = 1,8T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 12. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1200 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 12T₁ = 288 KT₃ = 1200 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 595,1 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 480/44,01 = 10,91 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Pression

P = nRT/V = 10,91·8,314·328,1/0,05 = 595,1 kPa

Réponse

P = 595,1 kPa

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 6,301 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Masse volumique

ρ = 450·39,95/(8,314·343,1) = 6,301 kg/m³

Réponse

ρ = 6,301 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 90,05 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1·2,44·(130 − 70) = 146,4 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 146,4/(0,5·4,18) = 90,05 °C

Réponse

t_out = 90,05 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 0,3818 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 1·2,1·(140 − 100) = 84 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,05)·84 = 79,8 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 79,8/(4,18·50) = 0,3818 kg/s

Réponse

ṁ_c = 0,3818 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: η_max = 54,56 %

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/623,1 = 54,56 %

Réponse

η_max = 54,56 %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇_L = 489,3 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 950 + 273,15 = 1223 K

T₀ = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Travail du moteur

η = 1 − 293,1/1223 = 0,7603

Ẇ = 0,7603·60 = 45,62 kW

Chaleur extraite par le réfrigérateur

COP_R = 268,1/(293,1 − 268,1) = 10,73

Q̇_L = 10,73·45,62 = 489,3 kW

Réponse

Q̇_L = 489,3 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T₃ = 1849 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fin de compression

T₂ = 310·20^0,4 = 1027 K

Apport de chaleur à pression constante

T₃ = r_c·T₂ = 1,8·1027 = 1849 K

Réponse

T₃ = 1849 K

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 313,8 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T₂ = 288·12^0,2857 = 585,8 K

T₄ = 1200/12^0,2857 = 590 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(585,8 − 288) = 299,3 kJ/kg

w_t = 1,005·(1200 − 590) = 613,1 kJ/kg

Travail net

w_net = 613,1 − 299,3 = 313,8 kJ/kg

Réponse

w_net = 313,8 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 48,81%.

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