Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
50 g de N₂P = 350 kPaT = 35 °CV = ?

Quel volume V occupent 50 g de N₂ à 350 kPa et 35 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 50 gM = 28,01 g/molP = 350 kPaT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de CH₄ passe de 100 kPa, 20 L, 40 °C à 100 kPa et 80 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 100 kPaV1 = 20 LT1 = 40 °CP2 = 100 kPaT2 = 80 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 160 °C70 °Ceau · 10 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidéthanol · 180 °C140 °Ceau · 30 °C70 °C · ṁ = ?10 % perdus

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 3 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 140 °Ct: 30 → 70 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 575 °CTL​ = ?EQH​ = 3500 kJQL​ = 1292 kJW

Un moteur thermique réversible (de Carnot) reçoit 3500 kJ de chaleur d’une source à 575 °C et en rejette 1292 kJ par cycle. Trouvez la température TL de la source froide en °C.

TH = 575 °CQH = 3500 kJQL = 1292 kJ
TL = °C
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 650 °CT0​ = 30 °CTL​ = -15 °CERWQ̇H​ = 60 kWQ̇L​ = ?

Un moteur de Carnot reçoit 60 kW de chaleur d’une source à 650 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 30 °C. Tout son travail entraîne un réfrigérateur de Carnot qui extrait de la chaleur d’un congélateur à -15 °C et rejette lui aussi de la chaleur vers l’environnement à 30 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇L extraite du congélateur.

TH = 650 °CT0 = 30 °CTL = -15 °CQ̇H = 60 kW
Q̇L = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 19 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 2,2. Au début de la compression, l’air est à 290 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T3 à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 19rc = 2,2T1 = 290 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 20. L’air entre dans le compresseur à 295 K et dans la turbine à 1200 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 20T1 = 295 KT3 = 1200 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 13,07 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 50/28,01 = 1,785 mol
T = 35 + 273,15 = 308,1 K

Volume

V = nRT/P = 1,785·8,314·308,1/350 = 13,07 L

Réponse

V = 13,07 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 22,55 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 313,1 K, T2 = 353,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(100/100)·(353,1/313,1) = 22,55 L

Réponse

V2 = 22,55 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 18,76 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 0,5·2,44·(160 − 70) = 109,8 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 109,8/(3·4,18) = 18,76 °C

Réponse

tout = 18,76 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 1,576 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 3·2,44·(180 − 140) = 292,8 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,1)·292,8 = 263,5 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 263,5/(4,18·40) = 1,576 kg/s

Réponse

ṁc = 1,576 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: TL = 39,94 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Température absolue de la source

TH = 575 + 273,15 = 848,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

TL = TH·QL/QH = 848,1·1292/3500 = 313,1 K = 39,94 °C

Réponse

TL = 39,94 °C
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇L = 231,2 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 650 + 273,15 = 923,1 K
T0 = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = -15 + 273,15 = 258,1 K

Travail du moteur

η = 1 − 303,1/923,1 = 0,6716
Ẇ = 0,6716·60 = 40,3 kW

Chaleur extraite par le réfrigérateur

COPR = 258,1/(303,1 − 258,1) = 5,737
Q̇L = 5,737·40,3 = 231,2 kW

Réponse

Q̇L = 231,2 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T3 = 2072 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fin de compression

T2 = 290·190,4 = 941,7 K

Apport de chaleur à pression constante

T3 = rc·T2 = 2,2·941,7 = 2072 K

Réponse

T3 = 2072 K
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 292,3 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2 = 295·200,2857 = 694,3 K
T4 = 1200/200,2857 = 509,9 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(694,3 − 295) = 401,3 kJ/kg
wt = 1,005·(1200 − 509,9) = 693,6 kJ/kg

Travail net

wnet = 693,6 − 401,3 = 292,3 kJ/kg

Réponse

wnet = 292,3 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 57,86%.

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