Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
340 g de CH₄V = 20 LT = 60 °CP = ?

Un réservoir de 20 L contient 340 g de CH₄ à 60 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 340 gM = 16,04 g/molV = 20 LT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de He passe de 150 kPa, 10 L, 30 °C à 450 kPa et 110 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 150 kPaV1 = 10 LT1 = 30 °CP2 = 450 kPaT2 = 110 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidhuile légère · 120 °C70 °Ceau · 25 °Ct = ? °C

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 120 °C60 °Ceau · 30 °C60 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Ct: 30 → 60 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 725 °CTL​ = 5 °CEQH​ = 3900 kJQL​W = ?

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 725 °C et une source froide à 5 °C. Il reçoit 3900 kJ de chaleur. Trouvez le travail maximal Wmax qu’il pourrait produire.

TH = 725 °CTL = 5 °CQH = 3900 kJ
Wmax = kJ
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 600 °CT0​ = 27 °CTL​ = -15 °CERWQ̇H​ = 50 kWQ̇L​ = ?

Un moteur de Carnot reçoit 50 kW de chaleur d’une source à 600 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 27 °C. Tout son travail entraîne un réfrigérateur de Carnot qui extrait de la chaleur d’un congélateur à -15 °C et rejette lui aussi de la chaleur vers l’environnement à 27 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇L extraite du congélateur.

TH = 600 °CT0 = 27 °CTL = -15 °CQ̇H = 50 kW
Q̇L = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 3. Au début de la compression, l’air est à 295 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T3 à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 16rc = 3T1 = 295 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 12. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

rp = 12k = 1,4
η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 2936 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 340/16,04 = 21,2 mol
T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Pression

P = nRT/V = 21,2·8,314·333,1/0,02 = 2936 kPa

Réponse

P = 2936 kPa
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 4,213 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 303,1 K, T2 = 383,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(150/450)·(383,1/303,1) = 4,213 L

Réponse

V2 = 4,213 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 45,93 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,1·(120 − 70) = 262,5 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 262,5/(3·4,18) = 45,93 °C

Réponse

tout = 45,93 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 2,196 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 1,5·3,6·(120 − 60) = 324 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·324 = 275,4 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 275,4/(4,18·30) = 2,196 kg/s

Réponse

ṁc = 2,196 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Wmax = 2813 kJ

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 725 + 273,15 = 998,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K

Rendement de Carnot

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 278,1/998,1 = 72,13 %

Travail maximal

Wmax = ηmax·QH = 0,7213·3900 = 2813 kJ

Réponse

Wmax = 2813 kJ
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇L = 201,7 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 600 + 273,15 = 873,1 K
T0 = 27 + 273,15 = 300,1 K
TL = -15 + 273,15 = 258,1 K

Travail du moteur

η = 1 − 300,1/873,1 = 0,6562
Ẇ = 0,6562·50 = 32,81 kW

Chaleur extraite par le réfrigérateur

COPR = 258,1/(300,1 − 258,1) = 6,146
Q̇L = 6,146·32,81 = 201,7 kW

Réponse

Q̇L = 201,7 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T3 = 2683 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fin de compression

T2 = 295·160,4 = 894,3 K

Apport de chaleur à pression constante

T3 = rc·T2 = 3·894,3 = 2683 K

Réponse

T3 = 2683 K
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 50,83 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Rendement thermique

η = 1 − 1/120,2857 = 1 − 1/2,034 = 50,83%

Réponse

η = 50,83%

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