Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 160 g de O₂ à 400 kPa et 55 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 160 gM = 32 g/molP = 400 kPaT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de N₂ à 750 kPa et 110 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 28,01 g/molP = 750 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Ct: 30 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 250 °C et une source froide à 35 °C. Trouvez le rendement thermique maximal possible η_max.

T_H = 250 °CT_L = 35 °C

η_max = %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un moteur thermique reçoit 2900 kJ de chaleur d’une source à 350 °C, produit 1015 kJ de travail et rejette le reste vers une source à 35 °C, par cycle. Trouvez l’entropie totale créée S_gen par cycle.

T_H = 350 °CT_L = 35 °CQ_H = 2900 kJW = 1015 kJ

S_gen = kJ/K

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2. Au début de la compression, l’air est à 295 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée q_in par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 16r_c = 2T₁ = 295 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 6. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r_p = 6k = 1,4

η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 34,1 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 160/32 = 5 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Volume

V = nRT/P = 5·8,314·328,1/400 = 34,1 L

Réponse

V = 34,1 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 6,595 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Masse volumique

ρ = 750·28,01/(8,314·383,1) = 6,595 kg/m³

Réponse

ρ = 6,595 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 53,78 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,44·(130 − 100) = 183 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 183/(1·4,18) = 53,78 °C

Réponse

t_out = 53,78 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 1,691 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 3·3,6·(140 − 100) = 432 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·432 = 388,8 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 388,8/(4,18·55) = 1,691 kg/s

Réponse

ṁ_c = 1,691 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: η_max = 41,1 %

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/523,1 = 41,1 %

Réponse

η_max = 41,1 %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: S_gen = 1,463 kJ/K

Création d’entropie : sur un cycle complet, le fluide de travail n’a pas de variation nette d’entropie. La source chaude perd Q_H/T_H et la source froide gagne Q_L/T_L. Leur somme est l’entropie créée, nulle pour un cycle réversible et positive pour tout cycle réel.

Chaleur rejetée

Q_L = Q_H − W = 2900 − 1015 = 1885 kJ

Températures absolues

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Variations d’entropie des sources

ΔS_H = −2900/623,1 = −4,654 kJ/K

ΔS_L = 1885/308,1 = 6,117 kJ/K

S_gen = 6,117 − 4,654 = 1,463 kJ/K

Réponse

S_gen = 1,463 kJ/K

S_gen > 0, donc le moteur est possible mais irréversible.

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: q_in = 898,7 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Températures

T₂ = 295·16^0,4 = 894,3 K

T₃ = 2·894,3 = 1789 K

Chaleur apportée à pression constante

q_in = 1,005·(1789 − 894,3) = 898,7 kJ/kg

Réponse

q_in = 898,7 kJ/kg

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 40,07 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Rendement thermique

η = 1 − 1/6^0,2857 = 1 − 1/1,669 = 40,07%

Réponse

η = 40,07%

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