Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
270 g de HeV = 5 LT = 85 °CP = ?

Un réservoir de 5 L contient 270 g de He à 85 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 270 gM = 4,003 g/molV = 5 LT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
N₂, M = 28,01 g/molP = 100 kPaT = 0 °Cρ = ?

Trouvez la masse volumique ρ de N₂ à 100 kPa et 0 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 28,01 g/molP = 100 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 160 °C80 °Ceau · 25 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 80 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 150 °C110 °Ceau · 10 °C80 °C · ṁ = ?5 % perdus

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 110 °Ct: 10 → 80 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 300 °CTL​ = 35 °CEQH​ = 2300 kJQL​W = ?

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 300 °C et une source froide à 35 °C. Il reçoit 2300 kJ de chaleur. Trouvez le travail maximal Wmax qu’il pourrait produire.

TH = 300 °CTL = 35 °CQH = 2300 kJ
Wmax = kJ
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 32 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​Q̇L​ = 2 kWẆ = ?

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -20 °C dans une cuisine à 32 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 2 kW. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇmin.

TH = 32 °CTL = -20 °CQ̇L = 2 kW
Ẇmin = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 17 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,8. Au début de la compression, l’air est à 320 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T3 à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 17rc = 1,8T1 = 320 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 16. L’air entre dans le compresseur à 290 K et dans la turbine à 1400 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 16T1 = 290 KT3 = 1400 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 40168 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 270/4,003 = 67,45 mol
T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Pression

P = nRT/V = 67,45·8,314·358,1/0,005 = 40168 kPa

Réponse

P = 40168 kPa
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 1,233 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Masse volumique

ρ = 100·28,01/(8,314·273,1) = 1,233 kg/m³

Réponse

ρ = 1,233 kg/m³
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 71,7 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2·2,44·(160 − 80) = 390,4 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 390,4/(2·4,18) = 71,7 °C

Réponse

tout = 71,7 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 1,169 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 2,5·3,6·(150 − 110) = 360 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,05)·360 = 342 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 342/(4,18·70) = 1,169 kg/s

Réponse

ṁc = 1,169 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Wmax = 1063 kJ

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 300 + 273,15 = 573,1 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Rendement de Carnot

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 308,1/573,1 = 46,24 %

Travail maximal

Wmax = ηmax·QH = 0,4624·2300 = 1063 kJ

Réponse

Wmax = 1063 kJ
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇmin = 0,4108 kW

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 32 + 273,15 = 305,1 K
TL = -20 + 273,15 = 253,1 K

Meilleur COP possible

COPR,max = TL/(TH − TL) = 253,1/(305,1 − 253,1) = 4,868

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇmin = Q̇L/COP = 2/4,868 = 0,4108 kW

Réponse

Ẇmin = 0,4108 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T3 = 1789 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fin de compression

T2 = 320·170,4 = 993,9 K

Apport de chaleur à pression constante

T3 = rc·T2 = 1,8·993,9 = 1789 K

Réponse

T3 = 1789 K
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 417,7 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2 = 290·160,2857 = 640,4 K
T4 = 1400/160,2857 = 634 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(640,4 − 290) = 352,1 kJ/kg
wt = 1,005·(1400 − 634) = 769,8 kJ/kg

Travail net

wnet = 769,8 − 352,1 = 417,7 kJ/kg

Réponse

wnet = 417,7 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 45,74%.

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