Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Un réservoir de 50 L contient 280 g de He à 30 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 280 gM = 4,003 g/molV = 50 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Une quantité fixe de Ar passe de 400 kPa, 2 L, 10 °C à 650 kPa et 100 °C. Trouvez le nouveau volume V₂.

P₁ = 400 kPaV₁ = 2 LT₁ = 10 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

3.Bilan d’énergieMoyen

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 90 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 80 °Ct: 20 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 750 °C et une source froide à 40 °C. Il reçoit 1900 kJ de chaleur. Trouvez le travail maximal W_max qu’il pourrait produire.

T_H = 750 °CT_L = 40 °CQ_H = 1900 kJ

W_max = kJ

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Deux moteurs de Carnot fonctionnent en série. Le moteur A reçoit de la chaleur d’une source à 1200 °C et rejette de la chaleur vers une source intermédiaire à la température T_m. Le moteur B prend toute cette chaleur et rejette de la chaleur vers une source à 35 °C. Les deux moteurs produisent le même travail. Trouvez T_m en °C.

T_H = 1200 °CT_L = 35 °C

T_m = °C

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 22 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 3. Au début de la compression, l’air est à 290 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T₃ à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 22r_c = 3T₁ = 290 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 6. L’air entre dans le compresseur à 295 K et dans la turbine à 1400 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 88 % et la turbine de 88 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 295 KT₃ = 1400 Kη_c = 88%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 3526 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 280/4,003 = 69,95 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Pression

P = nRT/V = 69,95·8,314·303,1/0,05 = 3526 kPa

Réponse

P = 3526 kPa

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V₂ = 1,622 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Températures absolues

T₁ = 283,1 K, T₂ = 373,1 K

Loi combinée des gaz

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(400/650)·(373,1/283,1) = 1,622 L

Réponse

V₂ = 1,622 L

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 50,14 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1·3,6·(160 − 90) = 252 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 252/(2·4,18) = 50,14 °C

Réponse

t_out = 50,14 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 0,9194 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 1·2,44·(150 − 80) = 170,8 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·170,8 = 153,7 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 153,7/(4,18·40) = 0,9194 kg/s

Réponse

ṁ_c = 0,9194 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: W_max = 1318 kJ

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/1023 = 69,39 %

Travail maximal

W_max = η_max·Q_H = 0,6939·1900 = 1318 kJ

Réponse

W_max = 1318 kJ

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: T_m = 617,5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 1200 + 273,15 = 1473 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Travail égal

W = Q·(1 − T_low/T_high) et Q/T est le même pour chaque source, donc W est proportionnel à la chute de température.

T_m = (1473 + 308,1)/2 = 890,7 K = 617,5 °C

Réponse

T_m = 617,5 °C

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T₃ = 2996 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fin de compression

T₂ = 290·22^0,4 = 998,5 K

Apport de chaleur à pression constante

T₃ = r_c·T₂ = 3·998,5 = 2996 K

Réponse

T₃ = 2996 K

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 270,9 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T_2s = 295·6^0,2857 = 492,2 K

T_4s = 1400/6^0,2857 = 839,1 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(492,2 − 295)/0,88 = 225,2 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1400 − 839,1) = 496,1 kJ/kg

Travail net

w_net = 496,1 − 225,2 = 270,9 kJ/kg

Réponse

w_net = 270,9 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 45,4%.

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