Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
100 g de ArP = 600 kPaT = 20 °CV = ?

Quel volume V occupent 100 g de Ar à 600 kPa et 20 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 100 gM = 39,95 g/molP = 600 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
CH₄, M = 16,04 g/molP = 550 kPaT = 20 °Cρ = ?

Trouvez la masse volumique ρ de CH₄ à 550 kPa et 20 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 16,04 g/molP = 550 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 130 °C90 °Ceau · 15 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 130 → 90 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidéthanol · 150 °C110 °Ceau · 15 °C35 °C · ṁ = ?10 % perdus

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 110 °Ct: 15 → 35 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 20 °CTL​ = -30 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 1 kWẆ

Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à -30 °C en extrayant 1 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 20 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇H qu’il rejette.

TL = -30 °CTH = 20 °CQ̇L = 1 kW
Q̇H = kW
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 32 °CTL​ = -25 °CRQ̇H​Q̇L​ = 3,5 kWẆ

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -25 °C dans une cuisine à 32 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 3,5 kW. Trouvez le coefficient de performance maximal possible COPmax.

TH = 32 °CTL = -25 °CQ̇L = 3,5 kW
COPmax =
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 14 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,5. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 14rc = 1,5k = 1,4
η = %
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 18. L’air entre dans le compresseur à 290 K et dans la turbine à 1400 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 88 % et la turbine de 90 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 18T1 = 290 KT3 = 1400 Kηc = 88%ηt = 90%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 10,17 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 100/39,95 = 2,503 mol
T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Volume

V = nRT/P = 2,503·8,314·293,1/600 = 10,17 L

Réponse

V = 10,17 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 3,62 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Masse volumique

ρ = 550·16,04/(8,314·293,1) = 3,62 kg/m³

Réponse

ρ = 3,62 kg/m³
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 44,19 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,44·(130 − 90) = 244 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 244/(2·4,18) = 44,19 °C

Réponse

tout = 44,19 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 2,627 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 2,5·2,44·(150 − 110) = 244 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,1)·244 = 219,6 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 219,6/(4,18·20) = 2,627 kg/s

Réponse

ṁc = 2,627 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇H = 1,206 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = -30 + 273,15 = 243,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 1·293,1/243,1 = 1,206 kW

Réponse

Q̇H = 1,206 kW

Puissance consommée : Ẇ = 0,2056 kW.

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: COPmax = 4,354

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 32 + 273,15 = 305,1 K
TL = -25 + 273,15 = 248,1 K

Meilleur COP possible

COPR,max = TL/(TH − TL) = 248,1/(305,1 − 248,1) = 4,354

Réponse

COPmax = 4,354
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 62,02 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Terme d’injection

(1,51,4 − 1)/(1,4·(1,5 − 1)) = 1,092

Rendement thermique

η = 1 − 0,348·1,092 = 62,02%

Réponse

η = 62,02%
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 286,6 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2s = 290·180,2857 = 662,3 K
T4s = 1400/180,2857 = 613 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(662,3 − 290)/0,88 = 425,2 kJ/kg
wt = 0,9·1,005·(1400 − 613) = 711,8 kJ/kg

Travail net

wnet = 711,8 − 425,2 = 286,6 kJ/kg

Réponse

wnet = 286,6 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 59,73%.

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