Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
100 g de O₂V = 5 LT = 20 °CP = ?

Un réservoir de 5 L contient 100 g de O₂ à 20 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 100 gM = 32 g/molV = 5 LT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de CH₄ passe de 150 kPa, 2 L, 25 °C à 800 kPa et 240 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 150 kPaV1 = 2 LT1 = 25 °CP2 = 800 kPaT2 = 240 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 140 °C90 °Ceau · 15 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 90 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidéthanol · 180 °C90 °Ceau · 20 °C50 °C · ṁ = ?10 % perdus

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 90 °Ct: 20 → 50 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 800 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​η = 54%

Un moteur thermique reçoit de la chaleur d’une source à 800 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 30 °C. Son rendement thermique réel est de 54 %. Trouvez son rendement exergétique ηII, rapport du rendement réel au rendement de Carnot.

TH = 800 °CTL = 30 °Cη = 54%
ηII = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 21 °CTL​ = -5 °CHPQ̇H​ = 5 kWQ̇L​Ẇ = ?

Une pompe à chaleur fournit 5 kW de chaleur à un système de chauffage à 21 °C, en prélevant de la chaleur à une source à -5 °C. Son COP réel vaut 45 % du COP de Carnot entre ces températures. Trouvez la puissance électrique Ẇ qu’elle consomme.

TH = 21 °CTL = -5 °CηII = 45%Q̇H = 5 kW
Ẇ = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 22 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 3. Au début de la compression, l’air est à 310 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T3 à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 22rc = 3T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 20. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

rp = 20k = 1,4
η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 1523 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 100/32 = 3,125 mol
T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Pression

P = nRT/V = 3,125·8,314·293,1/0,005 = 1523 kPa

Réponse

P = 1523 kPa
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 0,6454 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 298,1 K, T2 = 513,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(150/800)·(513,1/298,1) = 0,6454 L

Réponse

V2 = 0,6454 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 44,19 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 0,5·2,44·(140 − 90) = 61 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 61/(0,5·4,18) = 44,19 °C

Réponse

tout = 44,19 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 2,364 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 1,5·2,44·(180 − 90) = 329,4 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,1)·329,4 = 296,5 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 296,5/(4,18·30) = 2,364 kg/s

Réponse

ṁc = 2,364 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηII = 75,26 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 800 + 273,15 = 1073 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

Rendement de Carnot

ηCarnot = 1 − 303,1/1073 = 71,75 %

Rendement exergétique

ηII = η/ηCarnot = 54/71,75 = 75,26 %

Réponse

ηII = 75,26 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ = 0,9821 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = -5 + 273,15 = 268,1 K

COP de Carnot et COP réel

COPmax = 294,1/(294,1 − 268,1) = 11,31
COP = 0,45·11,31 = 5,091

Puissance consommée

Ẇ = Q̇H/COP = 5/5,091 = 0,9821 kW

Réponse

Ẇ = 0,9821 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T3 = 3202 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fin de compression

T2 = 310·220,4 = 1067 K

Apport de chaleur à pression constante

T3 = rc·T2 = 3·1067 = 3202 K

Réponse

T3 = 3202 K
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 57,51 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Rendement thermique

η = 1 − 1/200,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Réponse

η = 57,51%

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