Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 400 g de Ar à 600 kPa et 90 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 400 gM = 39,95 g/molP = 600 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de N₂ à 250 kPa et 160 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 28,01 g/molP = 250 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 100 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Ct: 25 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à 0 °C en extrayant 7 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 25 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇_H qu’il rejette.

T_L = 0 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 7 kW

Q̇_H = kW

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Deux moteurs de Carnot fonctionnent en série. Le moteur A reçoit de la chaleur d’une source à 1200 °C et rejette de la chaleur vers une source intermédiaire à la température T_m. Le moteur B prend toute cette chaleur et rejette de la chaleur vers une source à 15 °C. Les deux moteurs ont le même rendement thermique. Trouvez T_m en °C.

T_H = 1200 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 18 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 1,8. Au début de la compression, l’air est à 300 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T₃ à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 18r_c = 1,8T₁ = 300 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 10. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1500 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 80 % et la turbine de 88 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 288 KT₃ = 1500 Kη_c = 80%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 50,38 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 400/39,95 = 10,01 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volume

V = nRT/P = 10,01·8,314·363,1/600 = 50,38 L

Réponse

V = 50,38 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 1,944 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Masse volumique

ρ = 250·28,01/(8,314·433,1) = 1,944 kg/m³

Réponse

ρ = 1,944 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 40,43 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1·2,44·(170 − 100) = 170,8 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 170,8/(2·4,18) = 40,43 °C

Réponse

t_out = 40,43 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 0,5455 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 1·3,6·(150 − 110) = 144 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,05)·144 = 136,8 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 136,8/(4,18·60) = 0,5455 kg/s

Réponse

ṁ_c = 0,5455 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇_H = 7,641 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 7·298,1/273,1 = 7,641 kW

Réponse

Q̇_H = 7,641 kW

Puissance consommée : Ẇ = 0,6407 kW.

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: T_m = 378,4 °C

Températures absolues

T_H = 1200 + 273,15 = 1473 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Rendements égaux

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m donne T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(1473·288,1) = 651,5 K = 378,4 °C

Réponse

T_m = 378,4 °C

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T₃ = 1716 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fin de compression

T₂ = 300·18^0,4 = 953,3 K

Apport de chaleur à pression constante

T₃ = r_c·T₂ = 1,8·953,3 = 1716 K

Réponse

T₃ = 1716 K

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 302,8 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T_2s = 288·10^0,2857 = 556 K

T_4s = 1500/10^0,2857 = 776,9 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(556 − 288)/0,8 = 336,7 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1500 − 776,9) = 639,5 kJ/kg

Travail net

w_net = 639,5 − 336,7 = 302,8 kJ/kg

Réponse

w_net = 302,8 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 52,66%.

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