Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 70 g de CH₄ à 250 kPa et 55 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 70 gM = 16,04 g/molP = 250 kPaT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de CH₄ à 1000 kPa et 10 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 16,04 g/molP = 1000 kPaT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 120 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 70 °Ct: 30 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à -20 °C en extrayant 8 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 30 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇_H qu’il rejette.

T_L = -20 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 8 kW

Q̇_H = kW

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Une pompe à chaleur maintient une maison à 22 °C alors qu’il fait -5 °C dehors, en fournissant 9 kW de chaleur à la maison. Trouvez le coefficient de performance maximal possible COP_max.

T_H = 22 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 9 kW

COP_max =

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 22 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2,5. Au début de la compression, l’air est à 305 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T₃ à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 22r_c = 2,5T₁ = 305 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 16. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1400 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 88 % et la turbine de 92 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 16T₁ = 288 KT₃ = 1400 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 47,63 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 70/16,04 = 4,364 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Volume

V = nRT/P = 4,364·8,314·328,1/250 = 47,63 L

Réponse

V = 47,63 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 6,814 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Masse volumique

ρ = 1000·16,04/(8,314·283,1) = 6,814 kg/m³

Réponse

ρ = 6,814 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 55,93 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2·3,6·(160 − 120) = 288 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 288/(1,5·4,18) = 55,93 °C

Réponse

t_out = 55,93 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 4,418 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 3·3,6·(160 − 70) = 972 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,05)·972 = 923,4 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 923,4/(4,18·50) = 4,418 kg/s

Réponse

ṁ_c = 4,418 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇_H = 9,58 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 8·303,1/253,1 = 9,58 kW

Réponse

Q̇_H = 9,58 kW

Puissance consommée : Ẇ = 1,58 kW.

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: COP_max = 10,93

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Meilleur COP possible

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 268,1) = 10,93

Réponse

COP_max = 10,93

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T₃ = 2625 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fin de compression

T₂ = 305·22^0,4 = 1050 K

Apport de chaleur à pression constante

T₃ = r_c·T₂ = 2,5·1050 = 2625 K

Réponse

T₃ = 2625 K

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 310,9 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T_2s = 288·16^0,2857 = 636 K

T_4s = 1400/16^0,2857 = 634 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(636 − 288)/0,88 = 397,4 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1400 − 634) = 708,2 kJ/kg

Travail net

w_net = 708,2 − 397,4 = 310,9 kJ/kg

Réponse

w_net = 310,9 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 56,11%.

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