Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
60 g de CH₄P = 400 kPaT = 95 °CV = ?

Quel volume V occupent 60 g de CH₄ à 400 kPa et 95 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 60 gM = 16,04 g/molP = 400 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de Ar passe de 200 kPa, 20 L, 15 °C à 400 kPa et 70 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 15 °CP2 = 400 kPaT2 = 70 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 140 °C70 °Ceau · 30 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 150 °C60 °Ceau · 25 °C65 °C · ṁ = ?5 % perdus

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 60 °Ct: 25 → 65 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 600 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 40%

Un moteur thermique reçoit de la chaleur d’une source à 600 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 15 °C. Son rendement thermique réel est de 40 %. Trouvez son rendement exergétique ηII, rapport du rendement réel au rendement de Carnot.

TH = 600 °CTL = 15 °Cη = 40%
ηII = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 21 °CTL​ = -10 °CHPQ̇H​ = 10 kWQ̇L​Ẇ = ?

Une pompe à chaleur maintient une maison à 21 °C alors qu’il fait -10 °C dehors, en fournissant 10 kW de chaleur à la maison. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇmin.

TH = 21 °CTL = -10 °CQ̇H = 10 kW
Ẇmin = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 18 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,5. Au début de la compression, l’air est à 320 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée qin par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 18rc = 1,5T1 = 320 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 18. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1500 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 88 % et la turbine de 85 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 18T1 = 288 KT3 = 1500 Kηc = 88%ηt = 85%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 28,62 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 60/16,04 = 3,741 mol
T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Volume

V = nRT/P = 3,741·8,314·368,1/400 = 28,62 L

Réponse

V = 28,62 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 11,91 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 288,1 K, T2 = 343,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/400)·(343,1/288,1) = 11,91 L

Réponse

V2 = 11,91 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 60,65 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1,5·2,44·(140 − 70) = 256,2 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 256,2/(2·4,18) = 60,65 °C

Réponse

tout = 60,65 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 0,9205 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 0,5·3,6·(150 − 60) = 162 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,05)·162 = 153,9 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 153,9/(4,18·40) = 0,9205 kg/s

Réponse

ṁc = 0,9205 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηII = 59,7 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 600 + 273,15 = 873,1 K
TL = 15 + 273,15 = 288,1 K

Rendement de Carnot

ηCarnot = 1 − 288,1/873,1 = 67 %

Rendement exergétique

ηII = η/ηCarnot = 40/67 = 59,7 %

Réponse

ηII = 59,7 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇmin = 1,054 kW

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = -10 + 273,15 = 263,1 K

Meilleur COP possible

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294,1/(294,1 − 263,1) = 9,489

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇmin = Q̇H/COP = 10/9,489 = 1,054 kW

Réponse

Ẇmin = 1,054 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: qin = 511 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Températures

T2 = 320·180,4 = 1017 K
T3 = 1,5·1017 = 1525 K

Chaleur apportée à pression constante

qin = 1,005·(1525 − 1017) = 511 kJ/kg

Réponse

qin = 511 kJ/kg
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 298,1 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2s = 288·180,2857 = 657,7 K
T4s = 1500/180,2857 = 656,8 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(657,7 − 288)/0,88 = 422,2 kJ/kg
wt = 0,85·1,005·(1500 − 656,8) = 720,3 kJ/kg

Travail net

wnet = 720,3 − 422,2 = 298,1 kJ/kg

Réponse

wnet = 298,1 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 58,62%.

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