Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 250 g de O₂ à 800 kPa et 100 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 250 gM = 32 g/molP = 800 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de N₂ à 550 kPa et 50 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 28,01 g/molP = 550 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 60 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Ct: 15 → 35 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 300 °C et une source froide à 10 °C. Trouvez le rendement thermique maximal possible η_max.

T_H = 300 °CT_L = 10 °C

η_max = %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un moteur thermique reçoit 4100 kJ de chaleur d’une source à 350 °C, produit 1312 kJ de travail et rejette le reste vers une source à 15 °C, par cycle. Trouvez l’entropie totale créée S_gen par cycle.

T_H = 350 °CT_L = 15 °CQ_H = 4100 kJW = 1312 kJ

S_gen = kJ/K

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 22 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 3. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 22r_c = 3k = 1,4

η = %

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 10. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r_p = 10k = 1,4

η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 30,3 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 250/32 = 7,813 mol

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Volume

V = nRT/P = 7,813·8,314·373,1/800 = 30,3 L

Réponse

V = 30,3 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 5,734 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Masse volumique

ρ = 550·28,01/(8,314·323,1) = 5,734 kg/m³

Réponse

ρ = 5,734 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 92,97 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,44·(160 − 60) = 610 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 610/(2·4,18) = 92,97 °C

Réponse

t_out = 92,97 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 5,516 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 3·2,44·(130 − 60) = 512,4 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·512,4 = 461,2 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 461,2/(4,18·20) = 5,516 kg/s

Réponse

ṁ_c = 5,516 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: η_max = 50,6 %

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/573,1 = 50,6 %

Réponse

η_max = 50,6 %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: S_gen = 3,096 kJ/K

Création d’entropie : sur un cycle complet, le fluide de travail n’a pas de variation nette d’entropie. La source chaude perd Q_H/T_H et la source froide gagne Q_L/T_L. Leur somme est l’entropie créée, nulle pour un cycle réversible et positive pour tout cycle réel.

Chaleur rejetée

Q_L = Q_H − W = 4100 − 1312 = 2788 kJ

Températures absolues

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Variations d’entropie des sources

ΔS_H = −4100/623,1 = −6,579 kJ/K

ΔS_L = 2788/288,1 = 9,676 kJ/K

S_gen = 9,676 − 6,579 = 3,096 kJ/K

Réponse

S_gen = 3,096 kJ/K

S_gen > 0, donc le moteur est possible mais irréversible.

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 62,08 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Terme d’injection

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Rendement thermique

η = 1 − 0,2904·1,306 = 62,08%

Réponse

η = 62,08%

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 48,21 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Rendement thermique

η = 1 − 1/10^0,2857 = 1 − 1/1,931 = 48,21%

Réponse

η = 48,21%

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