Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Un réservoir de 30 L contient 410 g de He à 90 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 410 gM = 4,003 g/molV = 30 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Une quantité fixe de He passe de 200 kPa, 20 L, 10 °C à 400 kPa et 240 °C. Trouvez le nouveau volume V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

3.Bilan d’énergieMoyen

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Ct: 15 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 450 °C et une source froide à 35 °C. Il reçoit 900 kJ de chaleur. Trouvez le travail maximal W_max qu’il pourrait produire.

T_H = 450 °CT_L = 35 °CQ_H = 900 kJ

W_max = kJ

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Une pompe à chaleur maintient une maison à 22 °C alors qu’il fait 7 °C dehors, en fournissant 4 kW de chaleur à la maison. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 4 kW

Ẇ_min = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 20 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2,2. Au début de la compression, l’air est à 290 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée q_in par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 20r_c = 2,2T₁ = 290 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 15. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r_p = 15k = 1,4

η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 10308 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 410/4,003 = 102,4 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Pression

P = nRT/V = 102,4·8,314·363,1/0,03 = 10308 kPa

Réponse

P = 10308 kPa

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V₂ = 18,12 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Températures absolues

T₁ = 283,1 K, T₂ = 513,1 K

Loi combinée des gaz

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(200/400)·(513,1/283,1) = 18,12 L

Réponse

V₂ = 18,12 L

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 52,3 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1,5·3,6·(150 − 100) = 270 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 270/(2·4,18) = 52,3 °C

Réponse

t_out = 52,3 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 0,6275 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 2·3,6·(130 − 100) = 216 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,15)·216 = 183,6 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 183,6/(4,18·70) = 0,6275 kg/s

Réponse

ṁ_c = 0,6275 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: W_max = 516,5 kJ

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/723,1 = 57,39 %

Travail maximal

W_max = η_max·Q_H = 0,5739·900 = 516,5 kJ

Réponse

W_max = 516,5 kJ

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ_min = 0,2033 kW

Températures absolues

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Meilleur COP possible

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 280,1) = 19,68

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 4/19,68 = 0,2033 kW

Réponse

Ẇ_min = 0,2033 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: q_in = 1159 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Températures

T₂ = 290·20^0,4 = 961,2 K

T₃ = 2,2·961,2 = 2115 K

Chaleur apportée à pression constante

q_in = 1,005·(2115 − 961,2) = 1159 kJ/kg

Réponse

q_in = 1159 kJ/kg

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 53,87 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Rendement thermique

η = 1 − 1/15^0,2857 = 1 − 1/2,168 = 53,87%

Réponse

η = 53,87%

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