Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
80 g de CO₂V = 20 LT = 50 °CP = ?

Un réservoir de 20 L contient 80 g de CO₂ à 50 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 80 gM = 44,01 g/molV = 20 LT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de N₂ passe de 350 kPa, 2 L, 20 °C à 800 kPa et 80 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 350 kPaV1 = 2 LT1 = 20 °CP2 = 800 kPaT2 = 80 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 160 °C90 °Ceau · 15 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 90 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidhuile légère · 180 °C100 °Ceau · 10 °C25 °C · ṁ = ?5 % perdus

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 100 °Ct: 10 → 25 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 400 °CTL​ = 10 °CEQH​QL​W

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 400 °C et une source froide à 10 °C. Trouvez le rendement thermique maximal possible ηmax.

TH = 400 °CTL = 10 °C
ηmax = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 22 °CTL​ = -5 °CHPQ̇H​ = 11 kWQ̇L​Ẇ = ?

Une pompe à chaleur maintient une maison à 22 °C alors qu’il fait -5 °C dehors, en fournissant 11 kW de chaleur à la maison. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇmin.

TH = 22 °CTL = -5 °CQ̇H = 11 kW
Ẇmin = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 19 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 2,5. Au début de la compression, l’air est à 320 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T3 à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 19rc = 2,5T1 = 320 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 6. L’air entre dans le compresseur à 300 K et dans la turbine à 1500 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 6T1 = 300 KT3 = 1500 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 244,2 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 80/44,01 = 1,818 mol
T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Pression

P = nRT/V = 1,818·8,314·323,1/0,02 = 244,2 kPa

Réponse

P = 244,2 kPa
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 1,054 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 293,1 K, T2 = 353,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(350/800)·(353,1/293,1) = 1,054 L

Réponse

V2 = 1,054 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 83,1 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,44·(160 − 90) = 427 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 427/(1,5·4,18) = 83,1 °C

Réponse

tout = 83,1 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 2,545 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 1·2,1·(180 − 100) = 168 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,05)·168 = 159,6 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 159,6/(4,18·15) = 2,545 kg/s

Réponse

ṁc = 2,545 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηmax = 57,94 %

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 400 + 273,15 = 673,1 K
TL = 10 + 273,15 = 283,1 K

Rendement de Carnot

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 283,1/673,1 = 57,94 %

Réponse

ηmax = 57,94 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇmin = 1,006 kW

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 22 + 273,15 = 295,1 K
TL = -5 + 273,15 = 268,1 K

Meilleur COP possible

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 295,1/(295,1 − 268,1) = 10,93

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇmin = Q̇H/COP = 11/10,93 = 1,006 kW

Réponse

Ẇmin = 1,006 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T3 = 2598 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fin de compression

T2 = 320·190,4 = 1039 K

Apport de chaleur à pression constante

T3 = rc·T2 = 2,5·1039 = 2598 K

Réponse

T3 = 2598 K
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 402,4 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2 = 300·60,2857 = 500,6 K
T4 = 1500/60,2857 = 899 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(500,6 − 300) = 201,6 kJ/kg
wt = 1,005·(1500 − 899) = 604 kJ/kg

Travail net

wnet = 604 − 201,6 = 402,4 kJ/kg

Réponse

wnet = 402,4 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 33,37%.

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