Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
410 g de HeV = 10 LT = 90 °CP = ?

Un réservoir de 10 L contient 410 g de He à 90 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 410 gM = 4,003 g/molV = 10 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
CO₂, M = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 130 °Cρ = ?

Trouvez la masse volumique ρ de CO₂ à 250 kPa et 130 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 130 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 180 °C120 °Ceau · 20 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 120 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidhuile légère · 140 °C70 °Ceau · 25 °C65 °C · ṁ = ?10 % perdus

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Ct: 25 → 65 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 300 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​η = 18%

Un moteur thermique reçoit de la chaleur d’une source à 300 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 35 °C. Son rendement thermique réel est de 18 %. Trouvez son rendement exergétique ηII, rapport du rendement réel au rendement de Carnot.

TH = 300 °CTL = 35 °Cη = 18%
ηII = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 30 °CTL​ = -25 °CRQ̇H​Q̇L​ = 0,5 kWẆ

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -25 °C dans une cuisine à 30 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 0,5 kW. Trouvez le coefficient de performance maximal possible COPmax.

TH = 30 °CTL = -25 °CQ̇L = 0,5 kW
COPmax =
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,5. Au début de la compression, l’air est à 310 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T3 à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 16rc = 1,5T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 16. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1100 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 16T1 = 288 KT3 = 1100 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 30924 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 410/4,003 = 102,4 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Pression

P = nRT/V = 102,4·8,314·363,1/0,01 = 30924 kPa

Réponse

P = 30924 kPa
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 3,283 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 130 + 273,15 = 403,1 K

Masse volumique

ρ = 250·44,01/(8,314·403,1) = 3,283 kg/m³

Réponse

ρ = 3,283 kg/m³
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 78,37 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,44·(180 − 120) = 366 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 366/(1,5·4,18) = 78,37 °C

Réponse

tout = 78,37 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 1,187 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 1,5·2,1·(140 − 70) = 220,5 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,1)·220,5 = 198,5 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 198,5/(4,18·40) = 1,187 kg/s

Réponse

ṁc = 1,187 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηII = 38,93 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 300 + 273,15 = 573,1 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Rendement de Carnot

ηCarnot = 1 − 308,1/573,1 = 46,24 %

Rendement exergétique

ηII = η/ηCarnot = 18/46,24 = 38,93 %

Réponse

ηII = 38,93 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: COPmax = 4,512

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = -25 + 273,15 = 248,1 K

Meilleur COP possible

COPR,max = TL/(TH − TL) = 248,1/(303,1 − 248,1) = 4,512

Réponse

COPmax = 4,512
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T3 = 1410 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fin de compression

T2 = 310·160,4 = 939,7 K

Apport de chaleur à pression constante

T3 = rc·T2 = 1,5·939,7 = 1410 K

Réponse

T3 = 1410 K
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 255,2 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2 = 288·160,2857 = 636 K
T4 = 1100/160,2857 = 498,1 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(636 − 288) = 349,7 kJ/kg
wt = 1,005·(1100 − 498,1) = 604,9 kJ/kg

Travail net

wnet = 604,9 − 349,7 = 255,2 kJ/kg

Réponse

wnet = 255,2 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 57,81%.

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