Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
480 g de HeP = 400 kPaT = 85 °CV = ?

Quel volume V occupent 480 g de He à 400 kPa et 85 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 480 gM = 4,003 g/molP = 400 kPaT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de N₂ passe de 400 kPa, 20 L, 20 °C à 150 kPa et 190 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 400 kPaV1 = 20 LT1 = 20 °CP2 = 150 kPaT2 = 190 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidhuile légère · 130 °C80 °Ceau · 25 °Ct = ? °C

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 130 °C80 °Ceau · 15 °C30 °C · ṁ = ?10 % perdus

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 3 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Ct: 15 → 30 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 650 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​W

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 650 °C et une source froide à 15 °C. Trouvez le rendement thermique maximal possible ηmax.

TH = 650 °CTL = 15 °C
ηmax = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 35 °CTL​ = -10 °CRQ̇H​Q̇L​ = 1,5 kWẆ = ?

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -10 °C dans une cuisine à 35 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 1,5 kW. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇmin.

TH = 35 °CTL = -10 °CQ̇L = 1,5 kW
Ẇmin = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 2. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 16rc = 2k = 1,4
η = %
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 6. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1200 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 88 % et la turbine de 88 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 6T1 = 288 KT3 = 1200 Kηc = 88%ηt = 88%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 892,6 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 480/4,003 = 119,9 mol
T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Volume

V = nRT/P = 119,9·8,314·358,1/400 = 892,6 L

Réponse

V = 892,6 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 84,26 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 293,1 K, T2 = 463,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(400/150)·(463,1/293,1) = 84,26 L

Réponse

V2 = 84,26 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 125,5 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2·2,1·(130 − 80) = 210 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 210/(0,5·4,18) = 125,5 °C

Réponse

tout = 125,5 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 7,751 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 3·3,6·(130 − 80) = 540 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,1)·540 = 486 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 486/(4,18·15) = 7,751 kg/s

Réponse

ṁc = 7,751 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηmax = 68,79 %

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 650 + 273,15 = 923,1 K
TL = 15 + 273,15 = 288,1 K

Rendement de Carnot

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288,1/923,1 = 68,79 %

Réponse

ηmax = 68,79 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇmin = 0,2565 kW

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = -10 + 273,15 = 263,1 K

Meilleur COP possible

COPR,max = TL/(TH − TL) = 263,1/(308,1 − 263,1) = 5,848

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇmin = Q̇L/COP = 1,5/5,848 = 0,2565 kW

Réponse

Ẇmin = 0,2565 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 61,38 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Terme d’injection

(21,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Rendement thermique

η = 1 − 0,3299·1,171 = 61,38%

Réponse

η = 61,38%
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 205,3 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2s = 288·60,2857 = 480,5 K
T4s = 1200/60,2857 = 719,2 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(480,5 − 288)/0,88 = 219,9 kJ/kg
wt = 0,88·1,005·(1200 − 719,2) = 425,2 kJ/kg

Travail net

wnet = 425,2 − 219,9 = 205,3 kJ/kg

Réponse

wnet = 205,3 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 51,71%.

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