Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Un réservoir de 30 L contient 70 g de O₂ à 30 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 70 gM = 32 g/molV = 30 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de CH₄ à 300 kPa et 190 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 16,04 g/molP = 300 kPaT = 190 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 10 → 50 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 500 °C et une source froide à 30 °C. Trouvez le rendement thermique maximal possible η_max.

T_H = 500 °CT_L = 30 °C

η_max = %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -18 °C dans une cuisine à 28 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 5 kW. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇ_min.

T_H = 28 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 14 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2,2. Au début de la compression, l’air est à 295 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T₃ à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 14r_c = 2,2T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 10. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r_p = 10k = 1,4

η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 183,8 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 70/32 = 2,188 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Pression

P = nRT/V = 2,188·8,314·303,1/0,03 = 183,8 kPa

Réponse

P = 183,8 kPa

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 1,25 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273,15 = 463,1 K

Masse volumique

ρ = 300·16,04/(8,314·463,1) = 1,25 kg/m³

Réponse

ρ = 1,25 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 113,3 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1·3,6·(150 − 90) = 216 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 216/(0,5·4,18) = 113,3 °C

Réponse

t_out = 113,3 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 3,682 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 3·3,6·(140 − 80) = 648 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,05)·648 = 615,6 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 615,6/(4,18·40) = 3,682 kg/s

Réponse

ṁ_c = 3,682 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: η_max = 60,79 %

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/773,1 = 60,79 %

Réponse

η_max = 60,79 %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ_min = 0,9014 kW

Températures absolues

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Meilleur COP possible

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255,1/(301,1 − 255,1) = 5,547

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/5,547 = 0,9014 kW

Réponse

Ẇ_min = 0,9014 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T₃ = 1865 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fin de compression

T₂ = 295·14^0,4 = 847,8 K

Apport de chaleur à pression constante

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·847,8 = 1865 K

Réponse

T₃ = 1865 K

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 48,21 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Rendement thermique

η = 1 − 1/10^0,2857 = 1 − 1/1,931 = 48,21%

Réponse

η = 48,21%

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