Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
400 g de HeV = 20 LT = 95 °CP = ?

Un réservoir de 20 L contient 400 g de He à 95 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 400 gM = 4,003 g/molV = 20 LT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
O₂, M = 32 g/molP = 200 kPaT = 200 °Cρ = ?

Trouvez la masse volumique ρ de O₂ à 200 kPa et 200 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 32 g/molP = 200 kPaT = 200 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidhuile légère · 150 °C90 °Ceau · 15 °Ct = ? °C

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 90 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidhuile légère · 130 °C90 °Ceau · 20 °C45 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 90 °Ct: 20 → 45 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 375 °CTL​ = ?EQH​ = 4000 kJQL​ = 1963 kJW

Un moteur thermique réversible (de Carnot) reçoit 4000 kJ de chaleur d’une source à 375 °C et en rejette 1963 kJ par cycle. Trouvez la température TL de la source froide en °C.

TH = 375 °CQH = 4000 kJQL = 1963 kJ
TL = °C
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 30 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​Q̇L​ = 1 kWẆ

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -18 °C dans une cuisine à 30 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 1 kW. Trouvez le coefficient de performance maximal possible COPmax.

TH = 30 °CTL = -18 °CQ̇L = 1 kW
COPmax =
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 18 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,8. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 18rc = 1,8k = 1,4
η = %
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 16. L’air entre dans le compresseur à 310 K et dans la turbine à 1500 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 80 % et la turbine de 92 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 16T1 = 310 KT3 = 1500 Kηc = 80%ηt = 92%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 15293 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 400/4,003 = 99,93 mol
T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Pression

P = nRT/V = 99,93·8,314·368,1/0,02 = 15293 kPa

Réponse

P = 15293 kPa
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 1,627 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 200 + 273,15 = 473,1 K

Masse volumique

ρ = 200·32/(8,314·473,1) = 1,627 kg/m³

Réponse

ρ = 1,627 kg/m³
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 20,02 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 0,5·2,1·(150 − 90) = 63 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 63/(3·4,18) = 20,02 °C

Réponse

tout = 20,02 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 2,05 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 3·2,1·(130 − 90) = 252 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·252 = 214,2 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 214,2/(4,18·25) = 2,05 kg/s

Réponse

ṁc = 2,05 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: TL = 44,93 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Température absolue de la source

TH = 375 + 273,15 = 648,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

TL = TH·QL/QH = 648,1·1963/4000 = 318,1 K = 44,93 °C

Réponse

TL = 44,93 °C
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: COPmax = 5,316

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = -18 + 273,15 = 255,1 K

Meilleur COP possible

COPR,max = TL/(TH − TL) = 255,1/(303,1 − 255,1) = 5,316

Réponse

COPmax = 5,316
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 64,12 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Terme d’injection

(1,81,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Rendement thermique

η = 1 − 0,3147·1,14 = 64,12%

Réponse

η = 64,12%
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 288,3 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2s = 310·160,2857 = 684,5 K
T4s = 1500/160,2857 = 679,3 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(684,5 − 310)/0,8 = 470,5 kJ/kg
wt = 0,92·1,005·(1500 − 679,3) = 758,8 kJ/kg

Travail net

wnet = 758,8 − 470,5 = 288,3 kJ/kg

Réponse

wnet = 288,3 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 62,01%.

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