Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
200 g de CH₄P = 700 kPaT = 25 °CV = ?

Quel volume V occupent 200 g de CH₄ à 700 kPa et 25 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 200 gM = 16,04 g/molP = 700 kPaT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de N₂ passe de 350 kPa, 10 L, 30 °C à 400 kPa et 180 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 350 kPaV1 = 10 LT1 = 30 °CP2 = 400 kPaT2 = 180 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 130 °C100 °Ceau · 15 °Ct = ? °C

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 3 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 160 °C130 °Ceau · 25 °C90 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 130 °Ct: 25 → 90 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 800 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​η = 54%

Un moteur thermique reçoit de la chaleur d’une source à 800 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 25 °C. Son rendement thermique réel est de 54 %. Trouvez son rendement exergétique ηII, rapport du rendement réel au rendement de Carnot.

TH = 800 °CTL = 25 °Cη = 54%
ηII = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 55 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 19 kWQ̇L​Ẇ = ?

Une pompe à chaleur fournit 19 kW de chaleur à un système de chauffage à 55 °C, en prélevant de la chaleur à une source à 2 °C. Son COP réel vaut 30 % du COP de Carnot entre ces températures. Trouvez la puissance électrique Ẇ qu’elle consomme.

TH = 55 °CTL = 2 °CηII = 30%Q̇H = 19 kW
Ẇ = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,8. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 16rc = 1,8k = 1,4
η = %
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 15. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1100 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 15T1 = 288 KT3 = 1100 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 44,15 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 200/16,04 = 12,47 mol
T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Volume

V = nRT/P = 12,47·8,314·298,1/700 = 44,15 L

Réponse

V = 44,15 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 13,08 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 303,1 K, T2 = 453,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(350/400)·(453,1/303,1) = 13,08 L

Réponse

V2 = 13,08 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 66,67 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 3·3,6·(130 − 100) = 324 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 324/(1,5·4,18) = 66,67 °C

Réponse

tout = 66,67 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 0,5068 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 1,5·3,6·(160 − 130) = 162 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·162 = 137,7 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 137,7/(4,18·65) = 0,5068 kg/s

Réponse

ṁc = 0,5068 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηII = 74,77 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 800 + 273,15 = 1073 K
TL = 25 + 273,15 = 298,1 K

Rendement de Carnot

ηCarnot = 1 − 298,1/1073 = 72,22 %

Rendement exergétique

ηII = η/ηCarnot = 54/72,22 = 74,77 %

Réponse

ηII = 74,77 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ = 10,23 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 55 + 273,15 = 328,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

COP de Carnot et COP réel

COPmax = 328,1/(328,1 − 275,1) = 6,192
COP = 0,3·6,192 = 1,857

Puissance consommée

Ẇ = Q̇H/COP = 19/1,857 = 10,23 kW

Réponse

Ẇ = 10,23 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 62,39 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Terme d’injection

(1,81,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Rendement thermique

η = 1 − 0,3299·1,14 = 62,39%

Réponse

η = 62,39%
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 257,5 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2 = 288·150,2857 = 624,3 K
T4 = 1100/150,2857 = 507,4 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(624,3 − 288) = 338 kJ/kg
wt = 1,005·(1100 − 507,4) = 595,5 kJ/kg

Travail net

wnet = 595,5 − 338 = 257,5 kJ/kg

Réponse

wnet = 257,5 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 56,76%.

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