Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 200 g de He à 400 kPa et 30 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 200 gM = 4,003 g/molP = 400 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de He à 850 kPa et 90 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 4,003 g/molP = 850 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 140 °Ct: 10 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à -10 °C en extrayant 10 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 28 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇_H qu’il rejette.

T_L = -10 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 10 kW

Q̇_H = kW

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un moteur thermique reçoit 3800 kJ de chaleur d’une source à 600 °C, produit 1520 kJ de travail et rejette le reste vers une source à 20 °C, par cycle. Trouvez l’entropie totale créée S_gen par cycle.

T_H = 600 °CT_L = 20 °CQ_H = 3800 kJW = 1520 kJ

S_gen = kJ/K

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 15 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2,2. Au début de la compression, l’air est à 290 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T₃ à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 15r_c = 2,2T₁ = 290 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 8. L’air entre dans le compresseur à 295 K et dans la turbine à 1300 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 295 KT₃ = 1300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 314,8 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 200/4,003 = 49,96 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Volume

V = nRT/P = 49,96·8,314·303,1/400 = 314,8 L

Réponse

V = 314,8 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 1,127 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Masse volumique

ρ = 850·4,003/(8,314·363,1) = 1,127 kg/m³

Réponse

ρ = 1,127 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 35,05 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1·2,1·(140 − 110) = 63 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 63/(1,5·4,18) = 35,05 °C

Réponse

t_out = 35,05 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 0,244 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 0,5·3,6·(180 − 140) = 72 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,15)·72 = 61,2 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 61,2/(4,18·60) = 0,244 kg/s

Réponse

ṁ_c = 0,244 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇_H = 11,44 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 10·301,1/263,1 = 11,44 kW

Réponse

Q̇_H = 11,44 kW

Puissance consommée : Ẇ = 1,444 kW.

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: S_gen = 3,426 kJ/K

Création d’entropie : sur un cycle complet, le fluide de travail n’a pas de variation nette d’entropie. La source chaude perd Q_H/T_H et la source froide gagne Q_L/T_L. Leur somme est l’entropie créée, nulle pour un cycle réversible et positive pour tout cycle réel.

Chaleur rejetée

Q_L = Q_H − W = 3800 − 1520 = 2280 kJ

Températures absolues

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Variations d’entropie des sources

ΔS_H = −3800/873,1 = −4,352 kJ/K

ΔS_L = 2280/293,1 = 7,778 kJ/K

S_gen = 7,778 − 4,352 = 3,426 kJ/K

Réponse

S_gen = 3,426 kJ/K

S_gen > 0, donc le moteur est possible mais irréversible.

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T₃ = 1885 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fin de compression

T₂ = 290·15^0,4 = 856,7 K

Apport de chaleur à pression constante

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·856,7 = 1885 K

Réponse

T₃ = 1885 K

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 344,7 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T₂ = 295·8^0,2857 = 534,4 K

T₄ = 1300/8^0,2857 = 717,7 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(534,4 − 295) = 240,6 kJ/kg

w_t = 1,005·(1300 − 717,7) = 585,3 kJ/kg

Travail net

w_net = 585,3 − 240,6 = 344,7 kJ/kg

Réponse

w_net = 344,7 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 41,11%.

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