Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 320 g de Ar à 650 kPa et 100 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 320 gM = 39,95 g/molP = 650 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Une quantité fixe de O₂ passe de 250 kPa, 20 L, 35 °C à 200 kPa et 180 °C. Trouvez le nouveau volume V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 35 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 180 °C

V₂ = L

3.Bilan d’énergieMoyen

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 70 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 130 °Ct: 30 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 375 °C et une source froide à 30 °C. Il reçoit 2100 kJ de chaleur. Trouvez le travail maximal W_max qu’il pourrait produire.

T_H = 375 °CT_L = 30 °CQ_H = 2100 kJ

W_max = kJ

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Une pompe à chaleur fournit 4,5 kW de chaleur à un système de chauffage à 21 °C, en prélevant de la chaleur à une source à 0 °C. Son COP réel vaut 40 % du COP de Carnot entre ces températures. Trouvez la puissance électrique Ẇ qu’elle consomme.

T_H = 21 °CT_L = 0 °Cη_II = 40%Q̇_H = 4,5 kW

Ẇ = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 22 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2,5. Au début de la compression, l’air est à 320 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée q_in par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 22r_c = 2,5T₁ = 320 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 8. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1400 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 80 % et la turbine de 85 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 288 KT₃ = 1400 Kη_c = 80%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 38,23 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 320/39,95 = 8,01 mol

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Volume

V = nRT/P = 8,01·8,314·373,1/650 = 38,23 L

Réponse

V = 38,23 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V₂ = 36,76 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Températures absolues

T₁ = 308,1 K, T₂ = 453,1 K

Loi combinée des gaz

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/200)·(453,1/308,1) = 36,76 L

Réponse

V₂ = 36,76 L

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 55,12 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1,5·2,1·(120 − 70) = 157,5 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 157,5/(1,5·4,18) = 55,12 °C

Réponse

t_out = 55,12 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 1,193 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 2,5·2,1·(170 − 130) = 210 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,05)·210 = 199,5 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 199,5/(4,18·40) = 1,193 kg/s

Réponse

ṁ_c = 1,193 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: W_max = 1118 kJ

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 375 + 273,15 = 648,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/648,1 = 53,23 %

Travail maximal

W_max = η_max·Q_H = 0,5323·2100 = 1118 kJ

Réponse

W_max = 1118 kJ

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ = 0,8032 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

COP de Carnot et COP réel

COP_max = 294,1/(294,1 − 273,1) = 14,01

COP = 0,4·14,01 = 5,603

Puissance consommée

Ẇ = Q̇_H/COP = 4,5/5,603 = 0,8032 kW

Réponse

Ẇ = 0,8032 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: q_in = 1661 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Températures

T₂ = 320·22^0,4 = 1102 K

T₃ = 2,5·1102 = 2755 K

Chaleur apportée à pression constante

q_in = 1,005·(2755 − 1102) = 1661 kJ/kg

Réponse

q_in = 1661 kJ/kg

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 242,2 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T_2s = 288·8^0,2857 = 521,7 K

T_4s = 1400/8^0,2857 = 772,9 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(521,7 − 288)/0,8 = 293,6 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1400 − 772,9) = 535,7 kJ/kg

Travail net

w_net = 535,7 − 293,6 = 242,2 kJ/kg

Réponse

w_net = 242,2 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 54,8%.

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