Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
110 g de ArP = 300 kPaT = 90 °CV = ?

Quel volume V occupent 110 g de Ar à 300 kPa et 90 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 110 gM = 39,95 g/molP = 300 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
O₂, M = 32 g/molP = 800 kPaT = 0 °Cρ = ?

Trouvez la masse volumique ρ de O₂ à 800 kPa et 0 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 32 g/molP = 800 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 170 °C80 °Ceau · 15 °Ct = ? °C

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 80 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidhuile légère · 120 °C90 °Ceau · 30 °C75 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 30 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 600 °CTL​ = 10 °CEQH​QL​η = 44%

Un moteur thermique reçoit de la chaleur d’une source à 600 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 10 °C. Son rendement thermique réel est de 44 %. Trouvez son rendement exergétique ηII, rapport du rendement réel au rendement de Carnot.

TH = 600 °CTL = 10 °Cη = 44%
ηII = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 30 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​Q̇L​ = 5 kWẆ = ?

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -18 °C dans une cuisine à 30 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 5 kW. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇmin.

TH = 30 °CTL = -18 °CQ̇L = 5 kW
Ẇmin = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 20 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 3. Au début de la compression, l’air est à 310 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T3 à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 20rc = 3T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 8. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

rp = 8k = 1,4
η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 27,71 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 110/39,95 = 2,753 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volume

V = nRT/P = 2,753·8,314·363,1/300 = 27,71 L

Réponse

V = 27,71 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 11,27 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Masse volumique

ρ = 800·32/(8,314·273,1) = 11,27 kg/m³

Réponse

ρ = 11,27 kg/m³
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 111,9 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·3,6·(170 − 80) = 810 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 810/(2·4,18) = 111,9 °C

Réponse

tout = 111,9 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 0,427 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 1,5·2,1·(120 − 90) = 94,5 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·94,5 = 80,33 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 80,33/(4,18·45) = 0,427 kg/s

Réponse

ṁc = 0,427 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηII = 65,12 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 600 + 273,15 = 873,1 K
TL = 10 + 273,15 = 283,1 K

Rendement de Carnot

ηCarnot = 1 − 283,1/873,1 = 67,57 %

Rendement exergétique

ηII = η/ηCarnot = 44/67,57 = 65,12 %

Réponse

ηII = 65,12 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇmin = 0,9406 kW

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = -18 + 273,15 = 255,1 K

Meilleur COP possible

COPR,max = TL/(TH − TL) = 255,1/(303,1 − 255,1) = 5,316

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇmin = Q̇L/COP = 5/5,316 = 0,9406 kW

Réponse

Ẇmin = 0,9406 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T3 = 3082 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fin de compression

T2 = 310·200,4 = 1027 K

Apport de chaleur à pression constante

T3 = rc·T2 = 3·1027 = 3082 K

Réponse

T3 = 3082 K
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 44,8 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Rendement thermique

η = 1 − 1/80,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Réponse

η = 44,8%

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