Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Un réservoir de 30 L contient 100 g de Ar à 25 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 100 gM = 39,95 g/molV = 30 LT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de Ar à 650 kPa et 160 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 39,95 g/molP = 650 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 70 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 110 °Ct: 10 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique réversible (de Carnot) reçoit 1100 kJ de chaleur d’une source à 600 °C et en rejette 363 kJ par cycle. Trouvez la température T_L de la source froide en °C.

T_H = 600 °CQ_H = 1100 kJQ_L = 363 kJ

T_L = °C

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Une pompe à chaleur fournit 18 kW de chaleur à un système de chauffage à 35 °C, en prélevant de la chaleur à une source à 10 °C. Son COP réel vaut 40 % du COP de Carnot entre ces températures. Trouvez la puissance électrique Ẇ qu’elle consomme.

T_H = 35 °CT_L = 10 °Cη_II = 40%Q̇_H = 18 kW

Ẇ = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 20 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2,5. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 20r_c = 2,5k = 1,4

η = %

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 16. L’air entre dans le compresseur à 300 K et dans la turbine à 1400 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 82 % et la turbine de 90 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 16T₁ = 300 KT₃ = 1400 Kη_c = 82%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 206,8 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 100/39,95 = 2,503 mol

T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Pression

P = nRT/V = 2,503·8,314·298,1/0,03 = 206,8 kPa

Réponse

P = 206,8 kPa

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 7,211 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Masse volumique

ρ = 650·39,95/(8,314·433,1) = 7,211 kg/m³

Réponse

ρ = 7,211 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 77,82 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 3·2,1·(160 − 70) = 567 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 567/(2·4,18) = 77,82 °C

Réponse

t_out = 77,82 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 1,103 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 1,5·2,44·(180 − 110) = 256,2 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·256,2 = 230,6 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 230,6/(4,18·50) = 1,103 kg/s

Réponse

ṁ_c = 1,103 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: T_L = 14,99 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Température absolue de la source

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 873,1·363/1100 = 288,1 K = 14,99 °C

Réponse

T_L = 14,99 °C

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ = 3,651 kW

Températures absolues

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

COP de Carnot et COP réel

COP_max = 308,1/(308,1 − 283,1) = 12,33

COP = 0,4·12,33 = 4,93

Puissance consommée

Ẇ = Q̇_H/COP = 18/4,93 = 3,651 kW

Réponse

Ẇ = 3,651 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 62,55 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Terme d’injection

(2,5^1,4 − 1)/(1,4·(2,5 − 1)) = 1,241

Rendement thermique

η = 1 − 0,3017·1,241 = 62,55%

Réponse

η = 62,55%

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 248,6 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T_2s = 300·16^0,2857 = 662,5 K

T_4s = 1400/16^0,2857 = 634 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(662,5 − 300)/0,82 = 444,2 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1400 − 634) = 692,8 kJ/kg

Travail net

w_net = 692,8 − 444,2 = 248,6 kJ/kg

Réponse

w_net = 248,6 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 64,12%.

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