AP Statistics अभ्यास प्रश्न: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 37, 22, 31, 36, 23, 53, 15।

n = 7

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 36 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 20x = 36

z =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.3 से €9 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €60; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €3€9: p = 0.3€60: p = 0.01

E(G) = €

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 12 min और मानक विचलन 1.5 min है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 20 min और मानक विचलन 2 min है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 34.5 min से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34.5 min

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 90% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक90%

x = अंक

7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 110Σy = 597Σx² = 2460Σy² = 73069Σxy = 13400

r =

8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 55 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 55

x =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 68.5 और मानक विचलन s = 12.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 13x̄ = 68.5s = 12.599%t(12) = 3.055

E =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 10 प्लॉट, माध्य उपज 16 kg, मानक विचलन 7.5 kg। प्लॉट समूह 2: 7 प्लॉट, माध्य 17 kg, मानक विचलन 1 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 10x̄₁ = 16s₁ = 7.5n₂ = 7x̄₂ = 17s₂ = 190%t(15) = 1.753

E = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 73.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 73.8s = 8n = 36

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 95% शक्ति के साथ माध्य में 4 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 13 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 95%δ = 4σ = 13z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

13.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 3

χ² =

14.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.56

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 217/7 = 31

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 6² + (−9)² + 0² + 5² + (−8)² + 22² + (−16)² = 946

मानक विचलन

s = √(946/6) = 12.56

उत्तर

s = 12.56

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1.2

मानकीकृत करें

z = (36 − 60)/20 = −1.2

उत्तर

z = −1.2

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 0.7

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

प्रसरण

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

उत्तर

Var(X) = 0.7

4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.3 €

शुद्ध परिणाम

G: 6 (p = 0.3), 57 (p = 0.01), −3 (p = 0.69)

प्रत्याशित मान

E(G) = 6·0.3 + 57·0.01 − 3·0.69 = 0.3 €

उत्तर

E(G) = 0.3 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1587

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

मानकीकृत करें

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 77.8 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.9

सारणी से z

z ≈ 1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 अंक

उत्तर

x = 77.8 अंक

7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9949

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 13400 − 110·597/5 = 266

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 73069 − 597²/5 = 1787

सहसंबंध गुणांक

r = 266/√(40·1787) = 0.9949

उत्तर

r = 0.9949

8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 5

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 289/5 = 57.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

समाश्रयण रेखा

b = 112/40 = 2.8

a = 57.8 − 2.8·6 = 41

ŷ = 41 + 2.8·x

x के लिए हल करें

x = (55 − 41)/2.8 = 5

उत्तर

x = 5

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 10.59

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 12, t = 3.055

त्रुटि सीमा

E = 3.055·12.5/√13 = 10.59

उत्तर

E = 10.59

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 5.048 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (9·7.5² + 6·1²)/15 = 34.15

s_p = 5.844

त्रुटि सीमा

E = 1.753·5.844·√(1/10 + 1/7) = 5.048

उत्तर

E = 5.048 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −0.9

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

परीक्षण सांख्यिकी

t = (73.8 − 75)/1.333 = −0.9

उत्तर

t = −0.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 167

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.645)·13/4)² = 166.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 167

उत्तर

n = 167

13.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 45.9

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20

रात की शिफ़्ट: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (52 − 40)²/40 + (23 − 20)²/20 + (5 − 20)²/20 + (8 − 20)²/20 + (7 − 10)²/10 + (25 − 10)²/10

χ² = 45.9

उत्तर

χ² = 45.9

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

14.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 10.56

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 50, 50

आयु 31–50: 30, 30

आयु 51+: 30, 30

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (38 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (36 − 30)²/30 + (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (24 − 30)²/30

χ² = 10.56

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 9.210

10.56 > 9.210

उत्तर

χ² = 10.56

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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