AP Statistics अभ्यास प्रश्न: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 18, 42, 48, 14, 17, 43।

n = 6

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 50 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 42.5 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 50σ = 5x = 42.5

z =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.25, 0.35, 0.05

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 5 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 1 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.7k = 1

P =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.7620 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.7620

z =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 12 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 12

x =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 80 फ़ोन, माध्य 106 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 94 h, ज्ञात मानक विचलन 6 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 80x̄₁ = 106 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 94 hσ₂ = 6 h90%

ऊपरी सीमा = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 20 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 20E = 2.599%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 120.9 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 120.9s = 5n = 49

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो? मानक विचलन 5 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 5E = 1.590%

n =

13.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 3

χ² =

14.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 3003 × 2α = 0.01

χ² =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.53

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 182/6 = 30.33

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−12.33)² + 11.67² + 17.67² + (−16.33)² + (−13.33)² + 12.67² = 1205

मानक विचलन

s = √(1205/5) = 15.53

उत्तर

s = 15.53

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1.5

मानकीकृत करें

z = (42.5 − 50)/5 = −1.5

उत्तर

z = −1.5

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 0.89

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.35 + 4·0.05 = 2.1

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.35 + 16·0.05 = 5.3

प्रसरण

Var(X) = 5.3 − 2.1² = 0.89

उत्तर

Var(X) = 0.89

4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.02835

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 1) = 5·0.7¹·0.3⁴ = 5·0.7·0.0081 = 0.02835

उत्तर

P = 0.02835

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.18

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.7620)/2 = 0.8810

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.8810 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.18

उत्तर

z = 1.18

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 182.7 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

वापस x पर

x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm

उत्तर

x = 182.72 cm

7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.6823

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 282/6 = 47

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 134

निर्धारण गुणांक

r² = 40²/(17.5·134) = 0.6823

उत्तर

r² = 0.6823

y के विचरण का लगभग 68.23% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 9

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 45/5 = 9

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

समाश्रयण रेखा

b = 40/40 = 1

a = 9 − 1·6 = 3

ŷ = 3 + 1·x

x के लिए हल करें

x = (12 − 3)/1 = 9

उत्तर

x = 9

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 15.01 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 106 − 94 = 12

मानक त्रुटि

SE = √(14²/80 + 6²/40) = 1.83

त्रुटि सीमा

E = 1.645·1.83 = 3.011

अंतराल

12 ± 3.011 → [8.989, 15.01]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 15.01 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 425

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·20/2.5)² = 424.7

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 425

उत्तर

n = 425

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.26

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

परीक्षण सांख्यिकी

t = (120.9 − 120)/0.7143 = 1.26

उत्तर

t = 1.26

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 31

n ज्ञात करें

n = (1.645·5/1.5)² = 30.07

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 31

उत्तर

n = 31

13.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 8.083

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14

रात की शिफ़्ट: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (6 − 8)²/8 + (13 − 18)²/18 + (21 − 14)²/14 + (18 − 16)²/16 + (41 − 36)²/36 + (21 − 28)²/28

χ² = 8.083

उत्तर

χ² = 8.083

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

14.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 11.76

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 50, 50

आयु 31–50: 50, 50

आयु 51+: 50, 50

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (39 − 50)²/50 + (61 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (52 − 50)²/50 + (63 − 50)²/50 + (37 − 50)²/50

χ² = 11.76

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 9.210

11.76 > 9.210

उत्तर

χ² = 11.76

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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