वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
AP Statistics अभ्यास प्रश्न: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 58, 47, 11, 24, 27, 31, 43।
n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 130 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 100σ = 15x = 130
z =
3.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.35, 0.2, 0.3
σ =
4.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.2, 0.15, 0.25, 0.05Y = 2X + 4
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 4 का कुल द्रव्यमान 163.6 g से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 4< 163.6 g
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6Σx = 129Σy = 601Σx² = 2931Σy² = 64907Σxy = 13778
r =
8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 7 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 7
ŷ =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 9.2 है। उन्हीं आँकड़ों से 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
99%n₁ = 25E₁ = 9.295%
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 33 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 4 हो?
σ = 33E = 495%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 202.6 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 200x̄ = 202.6s = 8n = 81
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
100 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 202.3 है। समष्टि मानक विचलन 12 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 202.3σ = 12n = 10095%
U =
13.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1802 × 2
χ² =
14.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 7 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?
k = 7
df =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 15.87
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 241/7 = 34.43
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 23.57² + 12.57² + (−23.43)² + (−10.43)² + (−7.429)² + (−3.429)² + 8.571² = 1512
मानक विचलन
s = √(1512/6) = 15.87
उत्तर
s = 15.87
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = 2
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (130 − 100)/15 = 2
उत्तर
z = 2
3.प्रायिकता
उत्तर: σ = 1.062
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.15 + 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.3 = 1.65
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.3 = 3.85
प्रसरण
Var(X) = 3.85 − 1.65² = 1.127
σ = √1.127 = 1.062
उत्तर
σ = 1.062
4.प्रायिकता
उत्तर: σY = 2.644
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 2.45, Var(X) = 1.747, σX = 1.322
रैखिक परिवर्तन
σY = |2|·1.322 = 2.644
उत्तर
σY = 2.644
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·2.45 + 4 = 8.9।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.9332
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
कुल का बंटन
μT = 160 g, σT = 1.2·√4 = 2.4 g
मानकीकृत करें
z = (163.6 − 160)/2.4 = 1.5
प्रायिकता
P = Φ(1.5) = 0.9332
उत्तर
P = 0.9332
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 39.69 min
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
वापस x पर
x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min
उत्तर
x = 39.69 min
7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9948
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 13778 − 129·601/6 = 856.5
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157.5
Syy = 64907 − 601²/6 = 4707
सहसंबंध गुणांक
r = 856.5/√(157.5·4707) = 0.9948
उत्तर
r = 0.9948
8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 28.3
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 120/5 = 24
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
समाश्रयण रेखा
b = 172/40 = 4.3
a = 24 − 4.3·6 = −1.8
ŷ = −1.8 + 4.3·x
पूर्वानुमान
ŷ = −1.8 + 4.3·7 = 28.3
उत्तर
ŷ = 28.3
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 7
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/25) = 0.7609
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 9.2·0.7609 = 7
उत्तर
E₂ = 7
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 262
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.96·33/4)² = 261.5
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 262
उत्तर
n = 262
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 2.925
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889
परीक्षण सांख्यिकी
t = (202.6 − 200)/0.8889 = 2.925
उत्तर
t = 2.925
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 204.7
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.96·12/√100 = 2.352
अंतराल सीमा
U = 202.3 + 2.352 = 204.7
उत्तर
U = 204.7
13.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 12.6
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
पुरुष: 60·108/180 = 36, 60·72/180 = 24
महिलाएँ: 120·108/180 = 72, 120·72/180 = 48
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (25 − 36)²/36 + (35 − 24)²/24 + (83 − 72)²/72 + (37 − 48)²/48
χ² = 12.6
उत्तर
χ² = 12.6
df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
14.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: df = 5
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = 7 − 1 − 1 = 5
उत्तर
df = 5
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