AP Statistics अभ्यास प्रश्न: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 25, 46, 48, 41, 53।

n = 5

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 72 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 12x = 72

z =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.1, 0.35, 0.3

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 0.5X − 3। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.05, 0.35, 0.15Y = 0.5X − 3

σ_Y =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 172.4 और 190.6 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x₁ = 172.4x₂ = 190.6

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 20% आते हैं (20वाँ शततमक)।

μ = 65σ = 10P = 20%

x = अंक

7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 25Σy = 287Σx² = 165Σy² = 17149Σxy = 1595

r =

8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (5, 21) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(5, 21)

e =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 5.6 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 225 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 25E₁ = 5.6n₂ = 225

E₂ =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 6 प्लॉट, माध्य उपज 65 kg, मानक विचलन 8.5 kg। प्लॉट समूह 2: 8 प्लॉट, माध्य 74.5 kg, मानक विचलन 4.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 6x̄₁ = 65s₁ = 8.5n₂ = 8x̄₂ = 74.5s₂ = 4.590%t(12) = 1.782

E = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 97.07 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 97.07s = 12n = 81

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक परीक्षण में उपचार A वाले 100 में से 65 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 80 में से 63 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 63n₂ = 80

z =

13.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “ग्रामीण, निम्न” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 85स्तंभ योग = 46N = 151

E =

14.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2403 × 2α = 0.05

χ² =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 10.74

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 213/5 = 42.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−17.6)² + 3.4² + 5.4² + (−1.6)² + 10.4² = 461.2

मानक विचलन

s = √(461.2/4) = 10.74

उत्तर

s = 10.74

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1

मानकीकृत करें

z = (72 − 60)/12 = 1

उत्तर

z = 1

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 5.24

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.25 + 2·0.1 + 4·0.35 + 6·0.3 = 3.4

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.1 + 16·0.35 + 36·0.3 = 16.8

प्रसरण

Var(X) = 16.8 − 3.4² = 5.24

उत्तर

Var(X) = 5.24

4.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 0.779

X का फैलाव

μ = 1.85, Var(X) = 2.428, σ_X = 1.558

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |0.5|·1.558 = 0.779

उत्तर

σ_Y = 0.779

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 0.5·1.85 − 3 = −2.075।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7522

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8

z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.8) − Φ(−0.8) = 0.9641 − 0.2119 = 0.7522

उत्तर

P = 0.7522

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 56.58 अंक

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

वापस x पर

x = 65 + −0.8416·10 = 56.58 अंक

उत्तर

x = 56.58 अंक

7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9736

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 1595 − 25·287/5 = 160

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 17149 − 287²/5 = 675.2

सहसंबंध गुणांक

r = 160/√(40·675.2) = 0.9736

उत्तर

r = 0.9736

8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 2.319

माध्य

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 151/6 = 25.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 227

समाश्रयण रेखा

b = 227/70 = 3.243

a = 25.17 − 3.243·7 = 2.467

ŷ = 2.467 + 3.243·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 2.467 + 3.243·5 = 18.68

अवशिष्ट

e = 21 − 18.68 = 2.319

उत्तर

e = 2.319

बिंदु रेखा के ऊपर है।

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 1.867

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(25/225) = 0.3333

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 5.6·0.3333 = 1.867

उत्तर

E₂ = 1.867

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.231 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (5·8.5² + 7·4.5²)/12 = 41.92

s_p = 6.474

त्रुटि सीमा

E = 1.782·6.474·√(1/6 + 1/8) = 6.231

उत्तर

E = 6.231 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.198

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

परीक्षण सांख्यिकी

t = (97.07 − 100)/1.333 = −2.198

उत्तर

t = −2.198

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −2.022

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 65/100 = 0.65

p̂₂ = 63/80 = 0.7875

p̂ = 128/180 = 0.7111

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.7111·0.2889·(1/100 + 1/80)) = 0.06799

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.65 − 0.7875)/0.06799 = −2.022

उत्तर

z = −2.022

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

13.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 25.89

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 85·46/151 = 25.89

उत्तर

E = 25.89

14.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 16.09

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 24, 36

लाइन 2: 32, 48

लाइन 3: 40, 60

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (18 − 24)²/24 + (42 − 36)²/36 + (23 − 32)²/32 + (57 − 48)²/48 + (55 − 40)²/40 + (45 − 60)²/60

χ² = 16.09

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 5.991

16.09 > 5.991

उत्तर

χ² = 16.09

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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