वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
AP Statistics अभ्यास प्रश्न: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 48, 41, 55, 37, 55, 38, 39।
n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 68 से कम है?
μ = 60σ = 20x = 68
P =
3.प्रायिकतामध्यम
एक थैले में 7 लाल और 7 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?
7 / 7
P =
4.प्रायिकताकठिन
11 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?
n = 11p = 0.4
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.9871 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.9871
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 99% आते हैं (99वाँ शततमक)।
μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 5
r² =
8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 4.5
ŷ =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 36 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 12 है। 9 प्रेक्षणों पर आधारित 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
90%n₁ = 36E₁ = 1295%n₂ = 9
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 27 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 5 हो?
σ = 27E = 599%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 6 छात्र, माध्य अंक 75, मानक विचलन 8.5। समूह 2: 10 छात्र, माध्य अंक 80.8, मानक विचलन 11। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n₁ = 6x̄₁ = 75s₁ = 8.5n₂ = 10x̄₂ = 80.8s₂ = 11
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 2 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 21 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।
α = 0.05शक्ति = 80%δ = 2σ = 21zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 2202 × 2
χ² =
14.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।
N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 7.889
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 313/7 = 44.71
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 3.286² + (−3.714)² + 10.29² + (−7.714)² + 10.29² + (−6.714)² + (−5.714)² = 373.4
मानक विचलन
s = √(373.4/6) = 7.889
उत्तर
s = 7.889
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.6554
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 0.4
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
उत्तर
P = 0.6554
3.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.2308
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
पहली और दूसरी निकासी
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0.2308
उत्तर
P = 0.2308
4.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.03023
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
शून्य और एक विफलता
P(X = 0) = 0.611 = 0.003628
P(X = 1) = 11·0.4·0.610 = 0.02661
जोड़ें
P = 0.003628 + 0.02661 = 0.03023
उत्तर
P = 0.03023
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = −2.23
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.9871 = 0.0129
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.0129 खोजें और z पढ़ें।
z = −2.23
उत्तर
z = −2.23
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 45.96 min
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
वापस x पर
x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min
उत्तर
x = 45.96 min
7.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.7994
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 197/5 = 39.4
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 105.2
निर्धारण गुणांक
r² = 29²/(10·105.2) = 0.7994
उत्तर
r² = 0.7994
y के विचरण का लगभग 79.94% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
8.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 16.8
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
समाश्रयण रेखा
b = −28/10 = −2.8
a = 21 − (−2.8)·3 = 29.4
ŷ = 29.4 − 2.8·x
पूर्वानुमान
ŷ = 29.4 + (−2.8)·4.5 = 16.8
उत्तर
ŷ = 16.8
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 28.6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(36/9) = 2.383
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 12·2.383 = 28.6
उत्तर
E₂ = 28.6
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 194
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (2.576·27/5)² = 193.5
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 194
उत्तर
n = 194
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −1.104
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
संयुक्त प्रसरण
sp² = (5·8.5² + 9·11²)/14 = 103.6
sp = 10.18
मानक त्रुटि
SE = 10.18·√(1/6 + 1/10) = 5.256
परीक्षण सांख्यिकी
t = (75 − 80.8)/5.256 = −1.104
उत्तर
t = −1.104
df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 682
परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = ((1.645 + 0.842)·21/2)² = 681.9
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 682
उत्तर
n = 682
13.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 7.333
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
नई दवा: 120·110/220 = 60, 120·110/220 = 60
प्लेसिबो: 100·110/220 = 50, 100·110/220 = 50
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (70 − 60)²/60 + (50 − 60)²/60 + (40 − 50)²/50 + (60 − 50)²/50
χ² = 7.333
उत्तर
χ² = 7.333
df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
14.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 1.944
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
संयंत्र A: 60, 40
संयंत्र B: 48, 32
संयंत्र C: 36, 24
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (60 − 60)²/60 + (40 − 40)²/40 + (44 − 48)²/48 + (36 − 32)²/32 + (40 − 36)²/36 + (20 − 24)²/24
χ² = 1.944
निर्णय
df = 2, χ²crit = 5.991
1.944 < 5.991
उत्तर
χ² = 1.944
χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।
ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice